[論文レビュー] Semistable models for modular curves of arbitrary level

Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、無限レベルのルビン＝タート空間が、完全体的空間であることが示された。この空間を用いて、十分に分岐した $\mathbf{Z}_p$ の拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ の半安定モデルを構成する。主な結果は、特殊ファイバーが単なる通常の二重点特異点しか持たない、互いに整合する半安定モデルの族が得られることであり、これにより重みスペクトル系列を用いたコホモロジー計算が可能になる。

ABSTRACT

We produce an integral model for the modular curve $X(Np^m)$ over the ring of integers of a sufficiently ramified extension of $\mathbf{Z}_p$ whose special fiber is a {\em semistable curve} in the sense that its only singularities are normal crossings. This is done by constructing a semistable covering (in the sense of Coleman) of the supersingular part of $X(Np^m)$, which is a union of copies of a Lubin-Tate curve. In doing so we tie together nonabelian Lubin-Tate theory to the representation-theoretic point of view afforded by Bushnell-Kutzko types. For our analysis it was essential to work with the Lubin-Tate curve not at level $p^m$ but rather at infinite level. We show that the infinite-level Lubin-Tate space (in arbitrary dimension, over an arbitrary nonarchimedean local field) has the structure of a perfectoid space, which is in many ways simpler than the Lubin-Tate spaces of finite level.

研究の動機と目的

• $\mathbf{Z}_p$ の分岐拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ の半安定モデルを、特殊ファイバーが単一の通常の二重点特異点のみを有するように構成すること。
• 無限レベルのルビン＝タート空間を分析することで、非アーベル的ルビン＝タート理論とバッシュネル＝クッツコ型を統一すること。
• 半安定還元を用いて、ジャケット＝ラングランズおよび局所ラングランズ対応の局所的幾何的実現を提供すること。
• 既存の $X_0(Np^k)$ の安定モデルに関する結果を、任意のレベル $p^m$ にまで拡張すること。
• 非アーチメデス的局所体上での無限レベルのルビン＝タート空間が完全体的空間であることを確立し、有限レベルの解析を簡略化すること。

提案手法

• コールマンの広開曲線理論を用いて、$X(Np^m)$ の上澄み部分の半安定被覆を、ルビン＝タート曲線の和集合によって構成する。
• 有限レベルの類似物に比べて幾何的に単純な性質を示すため、無限レベルのルビン＝タートモジュライ問題を完全体的空間として分析する。
• ルビン＝タート塔上の $\operatorname{GL}_2(K) \times D^\times \times W_K$ の作用を用いて、表現論と幾何学を結びつける。
• 鎖順序とストラタの理論を用いて、CM点における整合的なレベル構造と接続順序を定義する。
• 座標系と行列式写像の近似を用いて、ルビン＝タート塔内に特別なアフィノイド $\mathcal{Y}_{\mathbf{x},m}$ を定義する。
• ブルハット＝ティツ木 $\mathcal{T}^\circ$ を $\Gamma^1(p^m)$ で商することで特殊ファイバーの双対グラフを構成し、CM点に対応する有理的成分を削除し、境界点にイグザ曲線 $\operatorname{Ig}(p^m)$ を接続することで最終的な安定モデルを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbf{Z}_p$ の分岐拡大上での $X(Np^m)$ に対して、通常の二重点特異点のみを有する半安定モデルを構成可能か？
• RQ2 無限レベルのルビン＝タート空間は有限レベルのルビン＝タート空間とどのように関係し、完全体的構造を備えることができるか？
• RQ3 ルビン＝タート曲線による上澄み部分の半安定被覆を用いて、モジュラー曲線の半安定還元を達成可能か？
• RQ4 無限レベルのルビン＝タート空間は、非アーベル的ルビン＝タート理論およびジャケット＝ラングランズ対応をどの程度実現するか？
• RQ5 半安定モデルの特殊ファイバーの構造は何か？ また、成分と交差多重度はどのように生じるか？

主な発見

• 任意の次元の非アーチメデス的局所体上での無限レベルのルビン＝タート空間は完全体的空間であり、有限レベルのルビン＝タート空間の幾何を単純化する。
• $\hat{K}^{\operatorname{nr}}$ の有限拡大上での、レベル $p^m$ のルビン＝タート空間 $\mathcal{M}_m$ の、互いに整合する半安定モデル $\hat{\mathcal{M}}_m$ の族が存在する。
• $\hat{\mathcal{M}}_m$ の特殊ファイバーは、通常の二重点特異点のみを有する曲線であり、ブルハット＝ティツ木上の頂点 $v$ に対して、$\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)}$ の完成として得られる各既約成分を持つ。
• 非原始的頂点に対応する成分は有理型（ genus 0 ）であり、原始的頂点に対応する成分は正の genus を持ち、それらに付随する曲線 $C_v$ に純粋に非分離な写像を受ける。
• 十分大きな $m$ に対して、$\Gamma(\pi^m) \cap \mathcal{K}_{\mathbf{x},v}^1$ の $C_v$ 上の作用は自明になり、写像 $\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)} \to C_v$ は純粋に非分離になる。
• 特殊ファイバーの双対グラフは、ブルハット＝ティツ木 $\mathcal{T}^\circ$ を $\Gamma^1(p^m)$ で商し、CM点に対応する端点の有理的成分を除去し、境界点にイグザ曲線 $\operatorname{Ig}(p^m)$ を接続することで構成される。