[논문 리뷰] Sequential optimal selection of a single-qubit gate and its relation to barren plateau in parameterized quantum circuits

Kaito Wada, Rudy Raymond외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기울기 없이 비용 함수를 최소화하기 위해 동적으로 최적의 단일 큐비트 게이트를 선택하는 파rameterized quantum circuits(PQCs)를 위한 순차 최적화 알고리즘을 제안한다. 약간 수정된 회로에서의 기대값의 행렬 분해를 활용함으로써, 효율적인 구조 최적화를 달성하고 순차적 방법과 기울기 기반 최적화 간의 엄밀한 연결 고리를 확립한다. 이는 국소 관측량에 대해 회로 깊이가 O(log n)일 때 평판이 발생하지 않음을 증명한다. 이는 최대 12 큐비트까지의 기저 상태 에너지 최적화를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We propose an algorithm for variational quantum algorithms (VQAs) to optimize the structure of parameterized quantum circuits (PQCs) efficiently. The algorithm optimizes the PQC structure on-the-fly in VQA by sequentially replacing a single-qubit gate with the optimal one to minimize the objective function. To directly find the optimal gate, our method uses the factorization of matrices whose elements are evaluated on a set of the slightly-modified circuits. The matrix factorization enables us to not only unify the existing sequential methods for further extension but also provide rigorous proofs of their limitation and potential in comparison with conventional gradient-based optimizers. Firstly, when the circuits are sufficiently deep, the sequential methods encounter a barren plateau that the spectrum of the matrix concentrates on a single value exponentially fast with respect to the number of qubits. Secondly, if the objective functions are local observables, they can avoid barren plateaus as long as the depth of the n-qubit PQCs is $O(\log{n})$. Although the family of these optimizers does not directly employ gradients of the objective function, our results establish their connection with conventional optimizations providing a consistent picture of the barren plateau. We also perform numerical experiments showing the advantages over conventional VQAs and confirm the successful optimization getting over the barren plateau in the ground state problem of the mixed field Ising model up to 12 qubits.

연구 동기 및 목표

• 목표 상태를 표현할 수 있도록 충분히 깊지만 평판이 발생하지 않도록 얕게 유지해야 하는 히우리스틱 앤사츠 설계 간의 갈등을 해결하기 위해.
• 실시간으로 최적의 단일 큐비트 게이트를 선택함으로써 PQC의 구조를 순차적으로 기울기 없이 최적화하는 방법을 개발하기 위해.
• 순차 최적화와 기울기 기반 방법 간의 이론적 연결 고리를 확립하기 위해, 특히 평판 현상에 대해.
• 국소 관측량에 대해 회로 깊이가 O(log n)일 때 순차 최적화기가 평판을 피함을 증명하기 위해.
• 혼합 자기장 이징 모델에 대한 수치 실험에서 기존 VQAs에 비해 뛰어난 성능을 보여주기 위해.

제안 방법

• 약간 수정된 회로에서 계산된 기대값의 행렬 분해를 사용하여 각 단계에서 최적의 단일 큐비트 게이트를 식별한다.
• 비용 함수가 게이트 매개변수에 따라 의존하는 방식으로 유도된 행렬 고유값 문제로 최적화를 공식화한다.
• 비용 함수의 기대값에 기반한 행렬 스펙트럼을 평가하여, 하나의 단일 큐비트 게이트를 최적의 것으로 순차적으로 교체한다.
• Rotoselect 및 Fraxis와 같은 기존 순차 방법을 일반화하여 엄밀한 수학적 기반을 지닌 통합 프레임워크를 제공한다.
• 단일 큐비트 회전의 주기성과 해석적 구조를 활용하여 기울기를 피함으로써, 게이트 축을 직접 최적화할 수 있다.
• 이론적 분석은 유니터리 t-디자인과 난수 행렬 이론을 사용하여, 다양한 회로 깊이와 관측량 하에서 최적화 행렬의 스펙트럼을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 관측량에 대해 큐비트 수에 대해 로그 수준의 회로 깊이일 때, PQCs에서의 순차 게이트 최적화가 평판 문제를 피할 수 있는가?
• RQ2 수렴성과 확장성 측면에서 순차 게이트 선택의 성능은 기울기 기반 최적화기와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 평판 현상의 맥락에서 순차 최적화와 기울기 기반 최적화 간의 이론적 관계는 무엇인가?
• RQ4 변형된 회로에서의 기대값 행렬 분해가 PQC의 구조를 효율적이고 기울기 없이 최적화하는 데 기여할 수 있는가?
• RQ5 순차 최적화기가 평판을 피하기 위해 효과적으로 유지되는 한계와 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 국소 관측량에 대해 회로 깊이가 O(log n)일 때, 순차 최적화가 평판을 피함을 입증하였으며, 이는 최적화 행렬의 스펙트럼이 단일 값에 집중되지 않기 때문이다.
• 이 방법은 12 큐비트 혼합 자기장 이징 모델의 기저 상태 에너지를 성공적으로 최적화하여, 기존 VQAs보다 낮은 에너지 오차를 달성하였다.
• 수치 실험 결과, 다양한 학습률을 가진 Adam 기반 기울기 하강법보다 특히 초기 최적화 단계에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 깊은 회로에서 FQS 행렬 스펙트럼의 두 번째 모멘트는 큐비트 수에 따라 지수적으로 증가하며, 이는 평판 행동의 시작을 시사한다.
• 이론적 분석을 통해 순차 방법이 기울기 기반 최적화와 본질적으로 연결되어 있으며, 동일한 평판 현상에 의해 성능이 제한됨을 확인하였다.
• 행렬 분해 접근법은 Rotoselect 및 Fraxis와 같은 기존 순차 최적화기들을 통합하고 확장하는 엄밀한 프레임워크를 제공한다.