[論文レビュー] Shadows of mapping class groups: capturing convex cocompactness

Richard P. Kent, Christopher J. Leininger|ArXiv.org|May 6, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限型の曲面の写像類群における凸コンパクト部分群の同値な特徴付けを確立し、このような部分群がその極限集合の弱ハルの上でコンパクトに作用し、極限点がすべて鋭錐型であり、テイヒミュラー空間とその不連続領域の和集合の上でコンパクトに作用することを示している。主な貢献は、クライン群に類似した幾何的および力学的性質に基づいた、凸コンパクト性の完全な特徴付けを提供することにある。

ABSTRACT

We strengthen the analogy between convex co-compact Kleinian groups and convex co-compact subgroups of the mapping class group of a surface (in the sense of B. Farb and L. Mosher).

研究の動機と目的

• 凸コンパクトクライン群と写像類群部分群の類似を拡張し、凸コンパクト性の同値な幾何的および力学的条件を同定すること。
• 写像類群の文脈において、弱ハル上でコンパクト作用することが凸コンパクト性を意味するかという問題を解決すること。
• 有限生成な写像類群部分群の凸コンパクト性を定義するにあたり、鋭錐極限点および不連続領域の役割を明確にすること。
• 弱ハルの位相的および幾何的構造、特に準凸性および準等長埋め込みとの関係を調査すること。

提案手法

• FarbとMosherの構成を一般化し、$\Lambda_G$ 内の極限点のペアを結ぶテイヒミュラー空間内のすべての測地線の和集合として弱ハル $\mathfrak{H}_G$ を定義する。
• Masurの漸近的半直線定理とMinskyの収縮定理を用いて、$\mathcal{T}(S)$ の厚い部分における測地線三角形が一様に細かくなることを証明し、これにより準凸性が得られる。
• もし $G$ が $\mathfrak{H}_G$ 上でコンパクトに作用するならば、$\mathfrak{H}_G$ は準凸的であり、$G$-軌道は準等長的に埋め込まれることを確立する。
• Teichmüller空間と不連続領域 $\Delta_G$ の和集合 $\mathcal{T}(S) \cup \Delta_G$ における $G $ のコンパクト作用が、凸コンパクト性と同値であることを証明する。
• $\mathfrak{H}_G$ が $\mathcal{T}(S) \cup \Delta_G$ で閉じており、$\mathfrak{H}_G/G$ がコンパクトであるという事実を用いて、作用の幾何的性質を特徴付ける。
• $\partial G$ の構造を終着リーマン空間 $\mathcal{EL}(S)$ と関連付け、$\partial G$ が $\mathcal{EL}(S)$ に埋め込まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成な部分群 $G < \mathrm{Mod}(S)$ が、その弱ハル $\mathfrak{H}_G$ 上でコンパクトに作用することと、凸コンパクトであることとは同値か？
• RQ2 すべての極限点が鋭錐型であるという条件が、凸コンパクト性を特徴づけることができるか？
• RQ3 $G$ が $\mathcal{T}(S) \cup \Delta_G$ 上でコンパクトに作用することは、$G$ が凸コンパクトであることと同値か？
• RQ4 $\mathfrak{H}_G/G$ がコンパクトであるということは、$G$ が双曲的であり、$G$-軌道が $\mathcal{T}(S)$ 内で準凸的であることを意味するか？
• RQ5 終着リーマン空間 $\mathcal{EL}(S)$ が連結または路連結であるような条件は何か？ そして、その性質は凸コンパクト部分群の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 有限生成な部分群 $G < \mathrm{Mod}(S)$ が凸コンパクトであることと、その弱ハル $\mathfrak{H}_G$ 上でコンパクトに作用することは同値である。
• 凸コンパクト性は、$G$ のすべての極限点が鋭錐型であるという条件と同値である。
• $G$ が $\mathcal{T}(S) \cup \Delta_G$ 上でコンパクトに作用することは、$G$ が凸コンパクトであることと同値である。
• $G$ が $\mathfrak{H}_G$ 上でコンパクトに作用する限り、弱ハル $\mathfrak{H}_G$ は $\mathcal{T}(S)$ 内で準凸的である。
• $\mathfrak{H}_G/G$ がコンパクトであることと、$G$ が凸コンパクトであることとは同値である。
• 凸コンパクトな $G$ の境界 $\partial G$ は、終着リーマン空間 $\mathcal{EL}(S)$ に埋め込まれる。さらに、$\mathcal{EL}(S)$ が完全に不連結であれば、$G$ はほとんど自由群である。