[논문 리뷰] Shallow shadows: Expectation estimation using low-depth random Clifford circuits

Christian Bertoni, Jonas Haferkamp외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 56인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 패러티와 랜덤 클리포드 회로 사이를 보간하는 깊이 조절형 무작위 측정 기법을 제안하며, 낮은 깊이의 회로를 사용하여 양자 상태 성질을 효율적이고 실험적으로 추정할 수 있도록 한다. 이 방법은 패러티 및 저 bond-차원 행렬 곱 연산자 관측량의 기대값 추정에 대해 엄밀한 성능 보장을 달성하며, 큐비트 수에 대해 로그 스케일링 깊이를 보인다.

ABSTRACT

We provide practical and powerful schemes for learning many properties of an unknown n-qubit quantum state using a sparing number of copies of the state. Specifically, we present a depth-modulated randomized measurement scheme that interpolates between two known classical shadows schemes based on random Pauli measurements and random Clifford measurements. These can be seen within our scheme as the special cases of zero and infinite depth, respectively. We focus on the regime where depth scales logarithmically in n and provide evidence that this retains the desirable properties of both extremal schemes whilst, in contrast to the random Clifford scheme, also being experimentally feasible. We present methods for two key tasks; estimating expectation values of certain observables from generated classical shadows and, computing upper bounds on the depth-modulated shadow norm, thus providing rigorous guarantees on the accuracy of the output estimates. We consider observables that can be written as a linear combination of poly(n) Paulis and observables that can be written as a low bond dimension matrix product operator. For the former class of observables both tasks are solved efficiently in n. For the latter class, we do not guarantee efficiency but present a method that works in practice; by variationally computing a heralded approximate inverses of a tensor network that can then be used for efficiently executing both these tasks.

연구 동기 및 목표

• 대규모 양자 시스템에서 샘플 효율성과 실험 가능성의 균형을 맞춘 기존 클래식 샤펠로우의 실용적 대안을 개발하기 위해.
• 기존 클래식 샤펠로우의 한계 — 랜덤 패러티(낮은 깊이이지만 고무중량 관측량에 대해 성능이 열 劣)와 랜덤 클리포드(높은 성능이지만 구현이 불가능한 깊이)—를 해결하기 위해 깊이 조절형 기법을 도입하기 위해.
• 오직 O(poly(n))개의 복사본과 O(log n)의 회로 깊이로도 다항식 수준의 패러티와 저 bond-차원 행렬 곱 연산자 관측량의 기대값을 정확하게 추정할 수 있도록 하기 위해.
• 추정 정확도에 대한 이론적 보장을 보장하기 위해 샤펠로우 노름에 대한 엄밀한 상한을 제공하기 위해.

제안 방법

• 조절 가능한 깊이 매개변수를 통해 랜덤 패러티(영 깊이)와 랜덤 클리포드(무한한 깊이) 사이를 보간하는 무작위 측정 프로토콜을 제안한다.
• 큐비트 수 n에 대해 로그 스케일링되는 깊이를 가지는 낮은 깊이의 무작위 클리포드 회로를 사용하여, 실험적으로 실현 가능하면서도 전체 클리포드 회로의 핵심 이점을 유지한다.
• 저 bond-차원 행렬 곱 연산자에 대해 허르달드 근사 역행렬을 계산하기 위해 텐서 네트워크 기반의 변분 방법을 활용하며, 다항식 시간 스케일링 보장이 없더라도 실용적인 추정이 가능하도록 한다.
• 전이 행렬 프레임워크 내에서 경로 수 계산 논증을 사용하여 깊이 조절형 샤펠로우 노름에 대한 엄밀한 상한을 유도하며, 고거리 경로 기여의 지수 감쇠를 활용한다.
• 경로 구성의 가중치 기반 분해를 적용하여 깊이 d를 초과하는 경로의 기여 합을 근사하기 위해 기하 급수와 지수 감쇠 추정치를 사용한다.
• 관측량이 크기 p의 부분 영역에만 영향을 미치며, p + 2d ≤ r log n를 만족할 경우, 깊이 d = Θ(log n)에서 강력한 성능 유지가 가능하며, 확장성이 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 회로 깊이를 가진 무작위 측정 기법이 양자 관측량 추정에서 전체 랜덤 클리포드 회로의 정확성과 샘플 효율성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 얕은 회로를 사용할 경우, 저 bond-차원 행렬 곱 연산자 관측량의 추정 오차를 어떻게 엄밀하게 경계할 수 있는가?
• RQ3 큰 n에 대해 실험적으로 실현 가능하면서도 전체 클리포드 회로 수준의 성능을 유지하기 위해 필요한 깊이 스케일링은 무엇인가?
• RQ4 텐서 네트워크 기법을 사용하여 패러티 클래스를 초월하는 관측량의 기대값을 효율적으로 추정할 수 있는가, 다항식 시간 스케일링 보장이 없더라도?
• RQ5 무작위 측정 프로토콜에서 회로 깊이와 추정 정확도 사이의 상호 관계는 무엇이며, 이를 정량적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 깊이 조절 기법은 전체 랜덤 클리포드 회로 수준의 성능을 달성하면서도 오직 O(log n)의 회로 깊이만을 요구하여 대규모 시스템에서 실험적으로 실현 가능하다.
• 다항식 수준의 패러티 선형 조합으로 구성된 관측량에 대해서는 기대값 추정과 샤펠로우 노름 상한이 모두 n에 대해 효율적으로 계산될 수 있다.
• 저 bond-차원 행렬 곱 연산자에 대해서는 실용적인 텐서 네트워크 기반 접근법을 제공하지만, 다항식 시간 스케일링 보장은 없다.
• 샤펠로우 노름 상한은 전이 행렬 모델 내에서 경로 수 계산 논증을 통해 도출되었으며, 깊이 d를 초과하는 경로의 기여가 지수적으로 감쇠됨을 보여준다.
• 관측량의 지원이 크기 p의 영역에 국한되어 있고, 깊이 d가 d ≥ (α log n + log(1/c)) / log(16/25)를 만족할 경우, 전체 클리포드 결과에 대해 상수 인자 근사가 유지되며, n이 증가함에 따라 오차가 감소한다.
• 분석 결과, 오차 경계 내의 n에 의존하는 인자를 p + 2d로 대체하면 국소 관측량의 경우 더 날카로운 경계를 확보할 수 있으며, 국소 관측량에 대한 확장성 향상이 가능하다.