[論文レビュー] Shape Theories. I. Their Diversity is Killing-Based and thus Nongeneric

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Morphological variations and asymmetry参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、関係的力学、背景独立性、および理論物理学の根幹をなす非自明な形状理論および形状・スケール理論が、一般に幾何的に装備された多様体上で消える一般化されたキリングベクトル場に依存するため、非一般的であることを確立している。主な結果は、このような理論が高対称性の設定でのみ存在可能であり、すべての可能なキャリア空間の空間において測度ゼロであるということである。

ABSTRACT

Kendall's Shape Theory covers shapes formed by $N$ points in $\mathbb{R}^d$ upon quotienting out the similarity transformations. This theory is based on the geometry and topology of the corresponding configuration space: shape space. Kendall studied this to build a widely useful Shape Statistics thereupon. The corresponding Shape-and-Scale Theory -- quotienting out the Euclidean transformations -- is useful in Classical Dynamics and Molecular Physics, as well as for the relational `Leibnizian' side of the Absolute versus Relational Motion Debate. Kendall's shape spaces moreover recur withing this `Leibnizian' Shape-and-Scale Theory. There has recently been a large expansion in diversity of Kendall-type Shape(-and-Scale) Theories. The current article outlines this variety, and furthermore roots it in solving the poset of generalized Killing equations. This moreover also places a first great bound on how many more Shape(-and-Scale) Theories there can be. For it is nongeneric for geometrically-equipped manifolds -- replacements for Kendall's $\mathbb{R}^d$ carrier space (absolute space to physicists) - to possess any generalized Killing vectors. Article II places a second great bound, now at the topological level and in terms of which Shape(-and-Scale) Theories are technically tractable. Finally Article III explains how the diversity of Shape(-and-Scale) Theories - from varying which carrier space and quotiented-out geometrical automorphism group are in use - constitutes a theory of Comparative Background Independence: a topic of fundamental interest in Dynamics, Gravitation and Theoretical Physics more generally. Article I and II's great bounds moreover have significant consequences for Comparative Background Independence.

研究の動機と目的

• 理論物理学および微分幾何学における多様な形状（およびスケール）理論の最近の増加を説明すること。
• このような理論の存在を支配する背後にある数学的メカニズム（一般化キリング方程式（GKEs））を特定すること。
• 非自明な関係的理論が稀（測度ゼロ）であることを確立すること。これは、大多数の多様体が非自明な一般化された対称性を持たないためである。
• GKEsの可解性を分析することにより、可能な形状（およびスケール）理論の数に微分幾何的上限を与えること。
• キャリア空間における対称性制約から理論の多様性が生じることを示し、比較的背景独立性の基盤を築くこと。

提案手法

• 微分可能多様体上の一般化キリング方程式（GKEs）の集合の順序半群（poset）を、形状（およびスケール）理論の多様性の根本的要因として分析する。
• リー微分形式を用いて、一般化キリングベクトルをGKEsの解として定義し、それらが幾何的自己同型に対応することを示す。
• キャリア空間 $\mathfrak{C}^d$（例えば $\mathbb{R}^d$）およびその射影化されたバージョン $\mathfrak{p}^{d-1}$ を用い、商空間が非自明な形状空間をもたらす条件を同定する。
• GKEsに非自明な解が存在しない場合には、自明な関係的空間（積空間）が一般ケースであることを示す。
• 非自明な形状理論が、キャリア空間に非自明な一般化キリングベクトルを許容する場合にのみ存在可能であることを確立する。
• 位相的および幾何的一般性条件を用いて、このような対称性が例外的であり、一般的ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ非自明な形状（およびスケール）理論は、高対称性の設定でのみ存在するのか？
• RQ2 異なるキャリア空間における形状（およびスケール）理論の多様性の背後にある数学的条件は何か？
• RQ3 一般化キリング方程式の可解性は、関係的理論の存在にどのように制約を加えるか？
• RQ4 なぜ非自明な形状理論の集合が、すべての可能な幾何的キャリア空間の空間において測度ゼロなのか？
• RQ5 この微分幾何的上限は、理論物理学におけるより広範な比較的背景独立性の概念とどのように関係するか？

主な発見

• 非自明な形状（およびスケール）理論は、一般に幾何的に装備された多様体上で消える一般化キリング方程式（GKEs）の非自明な解を必要とするため、非一般的である。
• 唯一の一般的関係的空間は、自己同型の自明な単位群に対応する積空間 $\times_{I=1}^N \mathfrak{C}^d$ である。
• GKEsに非自明な解が存在する場合、それに対応する商空間は非自明な形状空間または形状・スケール空間をもたらすが、このような状況はまれであり、高対称性の設定でのみ発生する。
• 既存の形状理論の多様性は、$\mathbb{R}^d$ のような高対称性キャリア空間に限定して探索された結果生じている。
• 曲率の導入、最大対称性の欠如、または位相的同定の導入は、有効な理論の数を急速に減少させ、微分幾何的レベルでの第一の大きな制約を確認する。
• 自明な関係的理論（関係的空間が単に定数空間そのものである場合）は常に存在する。これは、同次線形GKEsのゼロ解として常に存在する。