[論文レビュー] Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs

Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンブや多くの長いバーレイ・パスを有する有界次数木を含む広範なスパニングツリークラスの埋め込みに、鋭い閾値を確立する。拡張性とコネクタ・システムに基づく構成的技法を用いて、$χ(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ がほとんど確実にこのようなツリーを含むことを証明し、先行研究を改善するとともに、連結性閾値付近の広範なツリークラスについて予想を確認する。

ABSTRACT

When $k|n$, the tree $\mathrm{Comb}_{n,k}$ consists of a path containing $n/k$ vertices, each of whose vertices has a disjoint path length $k-1$ beginning at it. We show that, for any $k=k(n)$ and $ε>0$, the binomial random graph $\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$ almost surely contains $\mathrm{Comb}_{n,k}$ as a subgraph. This improves a recent result of Kahn, Lubetzky and Wormald. We prove a similar statement for a more general class of trees containing both these combs and all bounded degree spanning trees which have at least $εn/ \log^9n$ disjoint bare paths length $\lceil\log^9 n ceil$. We also give an efficient method for finding large expander subgraphs in a binomial random graph. This allows us to improve a result on almost spanning trees by Balogh, Csaba, Pei and Samotij.

研究の動機と目的

• 二項確率的グラフにおける、多くの長いバーレイ・パスを有するスパニングツリーの埋め込みに鋭い閾値を確立すること。
• コンブや有界次数ツリーを越えて、$(1+\varepsilon)\log n/n$ の閾値が十分であるとされるツリーの範囲を拡張すること。
• 拡張性とコネクタ・システムを用いた構成的技法により、このようなツリーの埋め込みを提供すること。
• 先行研究に比べ、ほとんどスパニングツリーおよびサイクル因子分解の埋め込みにおける閾値を改善すること。
• $\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ が $\alpha n/\log^9 n$ 個の長さ $\lceil \log^9 n \rceil$ の頂点を互いに共有しないバーレイ・パスを有するすべてのツリーをほとんど確実に含むことを示すこと

提案手法

• 小および大規模な集合に対して拡張性を保証するため、$\mathcal{G}(n,p)$ に大規模なエクスパンダー部分グラフを、単純な確率的議論により構成する。
• 段階的埋め込み戦略を採用：まずコアとなるツリー構造を埋め込み、次に補助グラフにおけるマッチングを用いてコネクタを通じて長いバーレイ・パスを接続する。
• $(\ell, \gamma)$-コネクタを用いて頂点を接続し、より長いパスを形成し、互いに頂点を共有しないことと連結性を保証する。
• ハルの条件を適用して、ランダム・グラフ内におけるコネクタの端点とターゲット頂点との間のマッチングの存在を検証する。
• パスをグラフ内をルーティングするために、コネクタ集合上の有向グラフ $M$ を導入し、互いに頂点を共有しないパスの構築を保証する。
• 確率的補題（例：補題 2.9, 2.12）を組み合わせて、ランダム・グラフにおける最小次数および拡張性の性質を確立する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閾値 $p = (1+\varepsilon)\log n/n$ が、十分に多くの長いバーレイ・パスを有するすべての有界次数スパニングツリーの埋め込みに十分であることを示せるか？
• RQ2 因子分解や確率的数え上げに依存するのではなく、拡張性とコネクタ・システムを用いた構成的技法により、このようなツリーの埋め込みが可能か？
• RQ3 長さ $\lceil \log^9 n \rceil$ の $\alpha n/\log^9 n$ 個の頂点を互いに共有しないバーレイ・パスを有するツリーに対して、閾値を $\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ に厳密化できるか？
• RQ4 本手法は、先行研究に比べ、ほとんどスパニングツリー埋め込みの閾値を改善するか？
• RQ5 同様の技法を用いて、$k \geq 2\log^9 n$ の場合に、ランダム・グラフが $n/k$ 個の頂点を互いに共有しない長さ $k$ のサイクルに分解可能か？

主な発見

• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ は、長さ $k$ の歯が少なくとも $\alpha n/k$ 個あるすべてのツリー $T$ をほとんど確実に含む。これはコンブ埋め込み結果を一般化する。
• 閾値 $p = (1+\varepsilon)\log n/n$ は、長さ $\lceil \log^9 n \rceil$ の $\alpha n/\log^9 n$ 個の頂点を互いに共有しないバーレイ・パスを有するすべての有界次数ツリーに十分である。
• 本手法により、因子分解定理に依存しない、拡張性とコネクタ・マッチングに基づく構成的埋め込みアルゴリズムが得られる。
• Balogh らのほとんどスパニングツリー埋め込み結果に比べ、必要な $p$ を $c/n$ から $\mathcal{O}(\log n/n)$ に削減した。
• $k \geq 2\log^9 n$ の場合、$\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ はほとんど確実に $n/k$ 個の頂点を互いに共有しない長さ $k$ のサイクルに分解可能である。
• 証明により、$\mathcal{G}(n,(1+\varepsilon)\log n/n)$ は、コネクタ・システムを介して複雑なツリー埋め込みを支えるのに十分な拡張性および最小次数を持つことが示された。