[論文レビュー] Sharp upper bounds for moments of quadratic Dirichlet $L$-functions

Peng Gao|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、0 ≤ k ≤ 2 における二次的ディリクレ L 関数の中心点における k 階モーメントの、未条件付きで鋭い上界を、Radziwiłł–Soundararajan の原理の洗練された応用によって確立する。指数和、ホルダーの不等式、およびディリクレ多項式の鋭い切り捨てを用いることで、モーメントが X(log X)^{k(k+1)/2} のオーダーで増大することを証明し、GRH を仮定しないまま、予想されるオーダーと一致する。

ABSTRACT

We establish unconditional sharp upper bounds of the $k$-th moments of the family of quadratic Dirichlet $L$-functions at the central point for $0 \leq k \leq 2$.

研究の動機と目的

• 0 ≤ k ≤ 2 に対して、未条件付きで L(1/2, χ₈ₔ) の k 階モーメントの鋭い上界を確立すること。
• Radziwiłł と Soundararajan の手法を、文字χ₈ₔ を持つ二次的ディリクレ L 関数の族に拡張すること。
• GRH の下での条件付き結果を改善し、予想される漸近的増加のオーダーと一致する未条件付きの上界を提供すること。
• 指数和を用いて精製された主要化関数を構築することで、モーメントの増加率 X(log X)^{k(k+1)/2} が最適であることを示すこと。

提案手法

• 高階モーメントと素数に関する指数和、特に ∑_{p≤z} (1/√p)χ₈ₔ( p ) との関係を、Radziwiłł–Soundararajan の原理を用いて確立する。
• 関数 𝒫(d) = ∑_{p≤z} (1/√p)χ₈ₔ( p ) を用いて、L(1/2, χ₈ₔ) の対数的サイズをモデル化し、L 関数のサイズを指数的減衰によって制御可能にする。
• ヤングの不等式とホルダーの不等式を用いて、|L(1/2, χ₈ₔ)|^{nk} を |L(1/2, χ₈ₔ)|^n と 𝒫(d) の指数関数を含む項の和で主要化する。
• テイラー展開による指数生成関数 exp(kn𝒫(d)) の切り捨てにより、平均化に適した扱いやすいディリクレ多項式を得る。
• ℓ を誤差項と主要項のバランスを取るために選ぶことにより、関数 𝒩(d, α) = ∏_p (1 + α/p^{1/2} + ⋯ + α^{2ℓ}/p^{ℓ+1/2}) を用いて指数関数を近似する。
• 補題 4.1 を用いて E_ℓ(x)E_ℓ(-x) ≥ 1 を示し、これによりホルダーの不等式を適用して、k 階モーメントを低階数のモーメントと 𝒩(d, α) の積の形で上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0 ≤ k ≤ 2 に対して、中心点における二次的ディリクレ L 関数の k 階モーメントの未条件付きで鋭い上界を確立できるか？
• RQ2 Radziwiłł–Soundararajan の原理を、奇数の平方自由な d を持つ族 L(s, χ₈ₔ) にどのように適応できるか？
• RQ3 k 階モーメント ∑_{d≤X, (d,2)=1} |L(1/2, χ₈ₔ)|^k の正確な増加率は何か？ そして、予想される X(log X)^{k(k+1)/2} と一致するか？
• RQ4 k = 1/2 や k = 1/m（整数 m > 2）のような非整数モーメントに対しても、この手法を拡張できるか？

主な発見

• 奇数の平方自由な d ≤ X に対する L(1/2, χ₈ₔ) の k 階モーメントは、0 ≤ k ≤ 2 に対して未条件付きで O_k(X(log X)^{k(k+1)/2}) で上界が与えられる。
• 上界は、予想される漸近的オーダーと一致しており、ランダム行列理論および CFKRS 予想による予測を裏付けている。
• k = 1 および k = 2 の場合、上界は鋭く、既知の漸近公式と誤差項の改善を伴って一致する。
• GRH に依存しないように、切り捨てられた指数和に基づく主要化関数とホルダーの不等式を用いることで、この手法は成功裏に実現された。
• E_ℓ(x)E_ℓ(-x) ≥ 1 に関する恒等式とホルダーの不等式の繰り返し適用により、k = 1/2 などの非整数モーメントに対してもこのアプローチを一般化できる。
• 証明により、モーメント推定における誤差項が、オイラー積の収束性とディリクレ多項式展開における係数の減衰によって制御されていることが示された。