[論文レビュー] Sheaves and conditional sets

Asgar Jamneshan|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全なブール代数上の層と条件付き集合の間の圏同値性を確立し、古典的集合論的構成を条件付き設定へと持ち上げるための転送原理を提供する。主な貢献は、層トポス内の内部対象を条件付き構造として体系的に解釈することであり、確率論および確率的解析における条件付き数学のトポス論的基盤を可能にする。

ABSTRACT

The purpose of this note is to record a connection between sheaves on complete Boolean algebras and conditional sets. This connection yields a transfer principle for conditional set theory. On the other hand we use conditional set theory to interpret the internal objects of a respective sheaf topos.

研究の動機と目的

• 完全なブール代数上の層と条件付き集合の間の圏同値性を確立すること。
• 古典的集合論的構成を条件付き集合論に解釈できる転送原理を構築すること。
• 層トポス内の内部対象を、特に $L^0$-加群およびノルム空間の文脈において、条件付き構造として解釈すること。
• 確率論および確率的解析の文脈において、条件付き数学のトポス論的基盤を提供すること。
• 群、ベクトル空間、ヒルベルト空間といった古典的構造が、条件付き構造を備えたものとして、$\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$ 内の内部対象に正確に対応することを示すこと。

提案手法

• 完全なブール代数 $\mathcal{A}$ 上の層を、分割のグロテンドイック基底 $P$ を用いたサイト構造でモデル化する。
• 層を、制限写像 $f^b_a: X_b \to X_a$ を備えた集合族 $X_a$ として定義し、整合性およびグリューニング公理を満たすようにする。
• 部分対象の層としての冪対象 $\mathfrak{P}(\mathcal{X})$ を定義し、成分ごとの部分集合関係によって包含を定義する。
• 制限写像と可換な関数族としての層の準同型を構成する。
• $L^0$-加群上の条件付き集合構造を用いて、古典的ノルムおよび内積を条件付き類似物へと持ち上げる。
• $L^0(M)$ および $L^0(H)$ に層構成を適用し、それぞれ $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-ノルム空間および $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-ヒルベルト空間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なブール代数上の層を、条件付き集合と体系的にどのように関係付けることができるか？
• RQ2 古典的集合論的構成を条件付き数学へと持ち上げるための転送原理とは何か？
• RQ3 層トポス $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$ 内の内部対象が、古典的 $L^0$-加群に条件付き構造を備えたものとしてどのように対応するか？
• RQ4 条件付きトポスおよび $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$ 内のフィルター基底が、$L^0$-加群における古典的位相的基底とどのように対応するか？
• RQ5 $L^0(H)$ に付随する層を、$\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-ヒルベルト空間としてどのように解釈できるか、そしてその内部構造は何か？

主な発見

• $\mathcal{A}$ 上の層の圏は、グロテンドイック基底 $P$ を通じて条件付き集合の圏と同値であり、$\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$ 内の冪対象を表す層 $\mathfrak{P}(\mathcal{X})$ がその役割を果たす。
• バナッハ空間 $M$ に対して $L^0(M)$ に付随する層は、$L^0$-値関数の安定性により持ち上げられたノルムを備えた $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-ノルム空間である。
• 複素ヒルベルト空間 $H$ に対して $L^0(H)$ に付随する層は、$L^0(\mathbb{C})$-値内積が位相を誘導する $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-複素ヒルベルト空間である。
• 条件付きノルムによって誘導される $L^0$-加群上の条件付きトポスは、層構成を通じて層トポスに対応し、球 $B_r(x)$ が古典的位相的基底をなす。
• 条件付き $\mathcal{G}$ に関して二乗可積分な確率変数の空間 $L^2_{\mathcal{F}|\mathcal{G}}$ は、$L^0(\mathcal{G},\mathbb{C})$-加群としての構造と条件付き内積を備え、その関連する層は $\mathbf{Sh}(\mathcal{B},P)$-ヒルベルト空間である。
• 任意の $\mathbf{Sh}(\mathcal{A},P)$-群は、安定な群演算を備えた古典的群から生じ、逆に、このような群は構成によって層論的群に変換可能である。