[論文レビュー] Sheets and associated varieties of affine vertex algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、半単純リー代数の双対におけるシート閉包が、非代数的レベルにおけるアフィン頂点代数の関連多様体として生じることを確立する。特に、非代数的レベルについて、$V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$ の関連多様体が最初の単純根を除いたレヴィ部分代数に対応するシートの閉包であることを証明し、Zhu代数の解析とポincare頂点代数の構造を用いて、可積分性および $C_2$-余有限性の予想を検証することで、新しい族のリス・$W$-代数を構成する。

ABSTRACT

We show that sheet closures appear as associated varieties of affine vertex algebras. Further, we give new examples of non-admissible affine vertex algebras whose associated variety is contained in the nilpotent cone. We also prove some conjectures from our previous paper and give new examples of lisse affine W-algebras.

研究の動機と目的

• 非代数的レベルにおけるアフィン頂点代数の関連多様体を特定すること、特にそれらがノエルプテン・コーンに含まれない場合に焦点を当てる。
• 関連多様体が非ノエルプテン・ジョルダン類（すなわち、シート）の閉包であるかどうかを調査すること。これにより、従来の結果（ノエルプテン軌道の閉包または双対空間全体）を超える拡張がなされる。
• 特に例外的リー型に対して、最小 $W$-代数のリス性に関する先行研究からの予想を検証および拡張すること。
• アフィン頂点代数の表現論とリー代数におけるシートの幾何学の間の関係を、関連多様体を通じて確立すること。

提案手法

• アフィン頂点代数 $V$ に対して、Zhu $C_2$-代数の構成を用いて関連多様体 $X_V = \operatorname{Specm} R_V$ を定義する。
• ポincare頂点代数および弧スキームの理論を適用し、$\operatorname{gr} V$ とシート閉包 $\overline{\SS}$ の無限次ジェットスキーム $J_\infty \overline{\SS}$ を関連付ける。
• 同型 $SS(V)_{\text{red}} \cong (J_\infty \overline{\SS})_{\text{red}}$ を用いて、関連多様体をシートの閉包と特定する。
• $\mathfrak{g}^\natural = \bigoplus \mathfrak{g}_i^\natural$ の分解とそれに伴う頂点代数の埋め込みを用いて、$\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ の構造を分析する。
• Kirillov-Kostant ポincare括弧 $S(\mathfrak{g}^e)$ とポincareイデアル理論を用い、すべての $k_i^\natural \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ならば $\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$ が成り立つことを示し、$\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ がリスであることを示す。
• $V^{k_i^\natural}(\mathfrak{g}_i^\natural)$ の特異ベクトルが $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ に非ゼロの特異ベクトルへ写されるのを確認し、非自明性とリス条件の支持を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非代数的レベルにおけるアフィン頂点代数の関連多様体が、$\mathfrak{g}^*$ の真の非ノエルプテン部分多様体（例えば、シート閉包）である可能性はあるか？
• RQ2 $V_k(\mathfrak{g})$ の関連多様体が、あるレヴィ部分代数 $\mathfrak{l} \subset \mathfrak{g}$ に対応するシート $\overline{\SS_{\mathfrak{l}}}$ の閉包と同型であるかどうか？
• RQ3 特にタイプ A でないリー代数に対して、最小 $W$-代数 $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ がリスである条件は何か？
• RQ4 $k = -h^\vee/6 - 1$ かつ $\mathfrak{g}$ がデリーニュ例外系列に属する場合、$V_k(\mathfrak{g})$ の関連多様体は最小ノエルプテン軌道の閉包と一致するか？
• RQ5 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ のZhu代数 $R_{\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)}$ が $\mathbb{C}[\mathscr{S}_{f_\theta}]/I$ と同型であり、$\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$ が成り立つことを示せれば、リス性が示されるのか？

主な発見

• $n \geq 4$ のとき、$V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$ の関連多様体は、最初の単純根を除くレヴィ部分代数 $\mathfrak{l}_1$ に対応するシート $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_1}}$ の閉包と同型である。
• $m \geq 2$ のとき、$V_{-m}(\mathfrak{sl}_{2m})$ の関連多様体は $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_0}}$ と同型であり、ここで $\mathfrak{l}_0$ は $m$ 番目の単純根を除くレヴィ部分代数である。
• $\mathcal{W}_k(G_2, f_\theta)$ の関連多様体は $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ のとき $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ に一致し、この族のリス性が確認された。
• $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ がリスであるための必要十分条件は、すべての $i \geq 1$ に対して $k_i^\natural \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ であることである。ここで $k_i^\natural$ は $\mathfrak{g}^\natural$ の成分に対応するレベルである。
• $V_k(\mathfrak{g})$ の関連多様体が $\{0\}$ であるための必要十分条件は $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ であることであり、これは代数的ケースにおける可積分性およびリス性を確認する。
• 本稿は [AM15] の予想を検証し、$\mathfrak{g} = G_2$ の場合に $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ がリスであるための必要十分条件が $3k + 5 \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ であること、および他の例外的型への拡張を示した。