[논문 리뷰] Simulating Quantum Circuits with Sparse Output Distributions

Martin Schwarz, Maarten Van den Nest|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 24.

Machine Learning and Algorithms참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 출력 분포가 약간 희소한 양자 회로—즉, 유의미한 확률을 갖는 측정 결과가 다항수만큼밖에 없을 경우—는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있음을 보여준다. 희소 푸리에 변환 기법(특히 Kushilevitz-Mansour)을 계산적으로 다룰 수 있는 상태에 대한 고전적 시뮬레이션 방법과 결합함으로써, 저자들은 푸리에 샘플링 및 IQP 회로를 포함한 이러한 회로들이 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션 가능하다는 것을 보여주며, 이는 과도한 진폭 상쇄(파괴적 간섭)가 지수적 양자 가속을 방지함을 시사한다.

ABSTRACT

We show that several quantum circuit families can be simulated efficiently classically if it is promised that their output distribution is approximately sparse i.e. the distribution is close to one where only a polynomially small, a priori unknown subset of the measurement probabilities are nonzero. Classical simulations are thereby obtained for quantum circuits which---without the additional sparsity promise---are considered hard to simulate. Our results apply in particular to a family of Fourier sampling circuits (which have structural similarities to Shor's factoring algorithm) but also to several other circuit families, such as IQP circuits. Our results provide examples of quantum circuits that cannot achieve exponential speed-ups due to the presence of too much destructive interference i.e. too many cancelations of amplitudes. The crux of our classical simulation is an efficient algorithm for approximating the significant Fourier coefficients of a class of states called computationally tractable states. The latter result may have applications beyond the scope of this work. In the proof we employ and extend sparse approximation techniques, in particular the Kushilevitz-Mansour algorithm, in combination with probabilistic simulation methods for quantum circuits.

연구 동기 및 목표

• 어떤 조건에서 하드한 구조를 가진 양자 회로가 고전적으로 시뮬레이션 가능해지는가를 규명하는 것.
• 출력 분포가 희소하다는 것—즉, 다항수의 결과만이 유의미한 확률을 갖는다—는 효율적인 고전적 시뮬레이션을 가능하게 하는가를 조사하는 것.
• 간섭과 진폭 상쇄가 지수적 양자 가속을 방지하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.
• 특히 Kushilevitz-Mansour 알고리즘을 포함한 희소 근사 기법을 양자 상태 시뮬레이션에 확장하는 것.
• QFT-Toffoli-QFT⁻¹ 구조를 갖는 양자 회로의 고전적 시뮬레이션 프레임워크를 제공하는 것—예를 들어, 쇼어 알고리즘에 있는 것들처럼.

제안 방법

• 유의미한 푸리에 계수를 효율적으로 근사하기 위해 Kushilevitz-Mansour 알고리즘을 활용한다.
• 계산적으로 다룰 수 있는(CT) 상태에 대한 랜덤화된 고전적 시뮬레이션 기법을 적용하여 출력 확률을 추정한다.
• 출력 분포에서 다항수의 유의미한 측정 결과를 식별하기 위해 희소 푸리에 변환(SFT) 기법을 사용한다.
• 오차가 제한된 상태에서 높은 확률을 갖는 계산 기저 상태의 진폭을 추정하기 위해 확률적 시뮬레이션 기법을 활용한다.
• 유의미한 진폭의 위상 추정과 확률 질량 재구성 기법을 조합하여 진정한 양자 출력 상태에 가까운 고전적 근사를 구성한다.
• 기존의 희소 근사 프레임워크를 확장하여, 구조화된 QFT와 역전이 가능한 게이트를 갖는 양자 회로를 다룰 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 출력 분포가 약간 희소한 양자 회로는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 파괴적 간섭—즉, 진폭 상쇄—는 양자 가속을 제한하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 QFT-Toffoli-QFT⁻¹ 구조를 갖는 회로에서 출력 분포의 희소성은 양자 우월성을 어느 정도 감소시키는가?
• RQ4 희소 푸리에 변환 기법은 구조화된 유니터리 진동을 갖는 양자 회로를 시뮬레이션하는 데 적응될 수 있는가?
• RQ5 소수의 지배적 측정 결과가 존재할 때, 어떤 조건에서 고전적 시뮬레이션 가능성이 보장되는가?

주요 결과

• 출력 분포가 약간 희소한 양자 회로—즉, O(poly(n))개의 결과만이 확률 Ω(1/poly(n))을 갖는 경우—는 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션될 수 있다.
• 고전적 시뮬레이션의 실행 시간은 poly(n, 1/ε, log(1/δ))이며, 여기서 ε는 근사 오차를 제어하고 δ는 실패 확률을 의미한다.
• 이 방법은 진정한 출력 상태와 고전적 시뮬레이션 간의 트레이스 거리에서 O(√ε)의 근사 오차를 달성한다.
• 쇼어 알고리즘은 희소성 조건을 만족하지 않으며, 그 이유는 출력 분포가 초다항적으로 평탄하기 때문이다. 이는 왜 고전적 시뮬레이션이 어렵게 만드는지를 설명한다.
• 결과적으로 지수적 양자 가속을 위해서는 초다항적으로 큰 지지집합을 갖는 출력 분포가 필요하며, 단지 몇몇 지배적 결과만 존재한다고 해서 충분하지 않다는 것을 시사한다.
• 이 프레임워크는 IQP 회로와 푸리에 샘플링 회로로까지 확장되며, 이는 희소성 조건 하에서 이러한 회로들의 고전적 시뮬레이션 가능성이 보장됨을 보여준다.