[論文レビュー] Singular Moduli of Shimura Curves

Eric Errthum|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、判別式6および10のシムーラ曲線の座標写像が、ベクトル値モジュラー形式のボルチェルズ上昇であることを確立し、特異モジュラー形式の有理数ノルムを代数的に明示的に計算可能にする。エリクス（2006）が提示した予想値を、ボルチェルズの特異積分公式を用いて、任意に大きな負の判別式を持つCM点に対しても正確な有理数ノルムを導出することで、それらを検証および拡張する。

ABSTRACT

The $j$-function acts as a parametrization of the classical modular curve. Its values at complex multiplication (CM) points are called singular moduli and are algebraic integers. A Shimura curve is a generalization of the modular curve and, if the Shimura curve has genus 0, a rational parameterizing function exists and when evaluated at a CM point is again algebraic over $\mathbb{Q}$. This paper shows that the coordinate maps for the Shimura curves associated to the quaternion algebras with discriminants 6 and 10 are Borcherds lifts of vector-valued modular forms. This property is then used to explicitly compute the rational norms of singular moduli on these curves. This method not only verifies the conjectural values for the rational CM points, but also provides a way of algebraically calculating the norms of CM points on these Shimura curves with arbitrarily large negative discriminant.

研究の動機と目的

• シムーラ曲線のハッセ代数の判別式6および10に関連する特異モジュラー形式の有理数ノルムを代数的に計算すること。
• エリクス（2006）が提示したCM点座標の予想値が、数値近似に基づいていたが、それらが数学的に正しいかを検証すること。
• 幾何的インボリューション法で到達可能な限界を超えて、特異モジュラー形式ノルムの計算手法を拡張すること。
• これらの曲線における座標写像が、自動形式およびモジュラー表現論と関連するベクトル値モジュラー形式のボルチェルズ上昇として生じることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、その極の型をフーリエ係数で重み付けされた有理二次極に一致させることで、$ D=6 $ および $ D=10 $ に対して座標写像 $ t_D: Σ^*_D \to \mathbb{P}^1 $ がベクトル値モジュラー形式のボルチェルズ上昇であることを同定する。
• 整数フーリエ係数をもつ、$ \mathbb{C}[L^\vee / L] $ に値をとるモジュラー形式 $ F_D $ を構成し、重み $ 1 - n/2 $（$ n=1 $）を満たす。ここで $ \text{div}(\Psi(F_D)^2) = \text{div}(t_D) $ が成り立つ。
• この方法により、スホーファーのボルチェルズ上昇のノルムに対する明示的公式を適用し、$ \prod_{z \in Z(\Delta)} ||\Psi(z,F_D)||^2 $ を計算可能とし、これにより特異モジュラー形式の有理数ノルムが得られる。
• 正規化定数は、基本ケースと特定点における $ t_D $ の既知の値を用いて計算され、上昇が元の座標写像と一致することを保証する。
• ベクトル値形式 $ F_D $ は、ディーデキント・イータ積の線形結合から得られるスカラー値モジュラー形式から上昇される。
• この手法は $ D=6 $ および $ D=10 $ を超えて一般化可能であり、非有界判別式を持つ他のシムーラ曲線への応用可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的インボリューション法では到達できない範囲において、判別式6および10のシムーラ曲線における特異モジュラー形式の有理数ノルムを代数的に計算できるか？
• RQ2 エリクス（2006）が $ \mathcal{X}^*_6 $ および $ \mathcal{X}^*_{10} $ に対して提示したCM点座標の予想値は、自動形式から数学的に導出可能で正しいか？
• RQ3 これらのシムーラ曲線の座標写像は、整数フーリエ係数をもつベクトル値モジュラー形式のボルチェルズ上昇として生じるか？
• RQ4 ボルチェルズおよびスホーファーのノルム公式を用いて、任意に大きな負の判別式を持つCM点の正確な有理数ノルムを計算できるか？
• RQ5 座標写像の極構造は、モジュラー形式のフーリエ係数で重み付けされた有理二次極として表現可能か？

主な発見

• 曲線 $ \mathcal{X}^*_6 $ および $ \mathcal{X}^*_{10} $ の座標写像が、ベクトル値モジュラー形式のボルチェルズ上昇であることが示され、その自動形式的性質が確認された。
• エリクス（2006）が提示したCM点座標の予想値が、代数的に検証され、正確な有理数として解明された。
• 判別式 $ \Delta $ のCM点における特異モジュラー形式の有理数ノルムは $ \prod_{z \in Z(\Delta)} ||\Psi(z,F_D)||^2 $ として計算され、$ \Delta = -472, -488, -520, -532, -548, -552, -568, -580, -628, -632, -660, -680, -692, -708, -712, -728, -740, -760, -772, -788, -808, -820, -840, -852, -868, -872, -888, -920, -932, -948, -952 $ に対して明示的な有理数式が導出された。
• 判別式 $ \Delta = -163 $ の場合、ノルムは $ \frac{2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 11^3}{7^2 \cdot 13^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2} $ であり、第二の共役は $ \frac{2 \cdot 19^2 \cdot 59^2 \cdot 79^2}{7^2 \cdot 13^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2} $ であるが、両者とも代数的に検証された。
• この手法により、任意に大きな負の判別式を持つCM点のノルムを体系的に計算可能となり、数値近似や幾何的インボリューション技術の限界を克服した。
• 構成により、グロス＝ツァイジャーの特異モジュラー形式の公式が、ボルチェルズ上昇のスホーファーのノルム公式の特別な場合であることが確認された。