[论文解读] Six dimensional solvmanifolds with holomorphically trivial canonical bundle

Anna Fino, Antonio Otal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文对具有不变复结构和全纯平凡 canonical bundle 的 6 维可解李代数进行分类，识别出所有存在非零闭 (3,0)-形式的李代数。研究证明了这些流形上存在 SKT、广义 Gauduchon、平衡及强 Gauduchon 度量，并构造了一个全纯族复流形，其中中心纤维不满足 $\partial\bar{\partial}$-引理且不存在平衡度量，尽管所有非中心纤维均满足。

ABSTRACT

We determine the 6-dimensional solvmanifolds admitting an invariant complex structure with holomorphically trivial canonical bundle. Such complex structures are classified up to isomorphism, and the existence of strong Kähler with torsion (SKT), generalized Gauduchon, balanced and strongly Gauduchon metrics is studied. As an application we construct a holomorphic family $(M,J_a)$ of compact complex manifolds such that $(M,J_a)$ satisfies the $\partial\bar\partial$-Lemma and admits a balanced metric for any $a ot=0$, but the central limit neither satisfies the $\partial\bar\partial$-Lemma nor admits balanced metrics.

研究动机与目标

• 对具有不变复结构且 canonical bundle 全纯平凡的 6 维可解流形进行分类。
• 确定这些流形中哪些支持特殊 Hermitian 度量，包括 SKT、广义 Gauduchon、平衡及强 Gauduchon 度量。
• 构造一个紧致复流形的全 holomorphic 家族，使得所有非中心纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理并存在平衡度量，而中心纤维不满足。

提出的方法

• 利用稳定形式的形式语言，并扩展 [17, 9, 14, 15, 28] 中的技术，对存在非零闭 (3,0)-形式的单模可解李代数进行分类。
• 应用存在非零闭 (3,0)-形式意味着几乎复结构可积的条件，将分类问题简化为 $b_3 \geq 2$ 的李代数。
• 利用 Turkowski、Mubarakzyanov 和 Shabanskaya 对不可约与可约 6 维单模可解李代数的分类，识别出所有候选对象。
• 利用 [6] 中的结果验证所识别李代数对应的单连通李群中是否存在格，除 $\mathfrak{g}_2^\alpha$ 中某些 $\alpha$ 值外。
• 对所有不变复结构按等价性进行分类，证明除 $\mathfrak{g}_3$ 和 $\mathfrak{g}_8$ 外均为有限，而后者存在连续族。
• 通过显式计算相应李代数及其对应流形的曲率与形式条件，分析特殊 Hermitian 度量的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 6 维单模可解李代数存在不变复结构且具有非零闭 (3,0)-形式，从而导致 canonical bundle 全纯平凡？
• RQ2 这些流形中哪些支持 SKT、广义 Gauduchon、平衡或强 Gauduchon 度量？
• RQ3 能否构造一个紧致复流形的全 holomorphic 家族，使得所有非中心纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理并存在平衡度量，而中心纤维不满足？
• RQ4 这些流形上不变复结构的模空间结构如何？其何时为有限或连续？
• RQ5 是否存在来自非幂零流形的新 SKT 或平衡流形例子？

主要发现

• 本文识别出恰好九个李代数——$\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2^\alpha (\alpha \geq 0), \mathfrak{g}_3, \ldots, \mathfrak{g}_9$——为唯一具有不变复结构且 canonical bundle 全纯平凡的 6 维单模可解李代数。
• 对于 $\mathfrak{g}_4$，本文构造了一个新的非 Kähler 的紧致 SKT 流形例子。
• 与 $\mathfrak{g}_6$ 对应的流形存在第一类 Gauduchon 度量，但不存在 SKT 度量。
• 与 $\mathfrak{g}_4, \mathfrak{g}_5, \mathfrak{g}_6, \mathfrak{g}_7, \mathfrak{g}_8, \mathfrak{g}_9$ 对应的流形均存在平衡度量，提供了新的紧致例子。
• 与 $\mathfrak{g}_4, \mathfrak{g}_5, \mathfrak{g}_6, \mathfrak{g}_7, \mathfrak{g}_8, \mathfrak{g}_9$ 对应的流形也均存在强 Gauduchon 度量。
• 构造了一个全 holomorphic 家族 $(M, J_a)$，使得当 $a \neq 0$ 时，$J_a$ 满足 $\partial\bar{\partial}$-引理并存在平衡度量，但中心纤维 $J_0$ 既不满足 $\partial\bar{\partial}$-引理，也不存在任何平衡度量。