[論文レビュー] Smooth and mixed Hessian valuations on convex functions

Jonas Knoerr|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、凸関数の微分サイクル上での微分形式の積分を通じて、有限値をとる凸関数上に滑らかで混合Hessian値関数を導入する。この値関数の空間が、すべての双対的epi平行移動不変値関数の空間において稠密であることを確立し、凸関数におけるMcMullen予想の関数解析的実現を提供する。

ABSTRACT

We construct valuations on the space of finite-valued convex functions using integration of differential forms over the differential cycle associated to a convex function. We describe the kernel of this procedure and show that the intersection of this space of smooth valuations with the space of all dually epi-translation invariant valuations on convex functions is dense in the latter. We also show that the same holds true for the space spanned by mixed Hessian valuations. This is a version of McMullen's conjecture for valuations on convex functions.

研究の動機と目的

• 微分幾何学的データを用いて、有限値をとる凸関数の空間上に新しい値関数を構成すること。
• 微分サイクル上での積分に基づく値関数構成手順の核を同定すること。
• 凸関数上での双対的epi平行移動不変値関数の広いクラスの中で、滑らかなHessian値関数の空間の稠密性を調査すること。
• 混合Hessian値関数への分析の拡張を行い、同じ空間内での稠密性を確立すること。
• 凸関数の文脈において、McMullen予想の関数解析的実現を提供すること。

提案手法

• 凸関数に関連する微分サイクル上での微分形式の積分を用いて値関数を定義する。
• 微分サイクルの幾何学的・解析的性質を通じて、値関数写像の核を同定する。
• 双対性とepi平行移動不変性を応用し、値関数の周囲空間を特徴付ける。
• 関数解析的手法を用いて、双対的epi平行移動不変値関数空間内での稠密性結果を確立する。
• 滑らかなHessian値関数写像の多重線形拡張を通じて、混合Hessian値関数を構成する。
• 滑らかで混合Hessian値関数の両空間が、すべての双対的epi平行移動不変値関数空間内に稠密であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、微分幾何的データを用いて、凸関数上の値関数を体系的に構成できるか？
• RQ2 微分サイクル上での積分に基づく値関数写像の核は何か？
• RQ3 滑らかなHessian値関数の空間は、凸関数上でのすべての双対的epi平行移動不変値関数の空間において稠密か？
• RQ4 混合Hessian値関数で張られる空間に対しても、同様の稠密性が成り立つか？
• RQ5 この構成は、凸関数の文脈において、McMullen予想をどの程度実現しているか？

主な発見

• 微分サイクル上での積分による値関数の構成は、有限値をとる凸関数の空間上でwell-definedな写像をもたらす。
• この値関数写像の核は、微分サイクルの性質を通じて幾何学的に特徴付けられる。
• 滑らかなHessian値関数の空間は、凸関数上でのすべての双対的epi平行移動不変値関数の空間において稠密である。
• 混合Hessian値関数で張られる空間も、同じ双対的epi平行移動不変値関数の空間において稠密である。
• これらの稠密性結果は、凸関数上の値関数におけるMcMullen予想の関数解析的実現を提供する。
• 結果として、凸関数の微分幾何学と値関数の代数的構造との間の橋渡しが確立される。