[論文レビュー] Convex analysis in normed spaces and metric projections onto convex bodies

Vitor Balestro, Horst Martini+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限次元ノルム空間において、ノルムが滑らかで強く凸であるとき、凸体の外部において距離関数が微分可能であり、ノルム勾配が単位外法線に等しいことを確立する。双対空間を識別するためにLegendre変換を用い、ノルムの部分勾配と勾配を導入し、それらをBirkhoff直交性と結びつける。微分可能性が成り立つのは、ノルムが滑らかで強く凸である場合に限ることを証明する。

ABSTRACT

We investigate metric projections and distance functions referring to convex bodies in finite-dimensional normed spaces. For this purpose we identify the vector space with its dual space by using, instead of the usual identification via the standard inner product, the Legendre transform associated with the given norm. This approach yields re-interpretations of various properties of convex functions, and new relations between such functions and geometric properties of the studied norm are also derived.

研究の動機と目的

• 有限次元ノルム空間における凸体へのメトリック射影が一意に定まるためのノルムおよび凸体の条件を同定すること。
• 特にノルムが滑らかで強く凸である場合に、一般のノルム空間における凸体への距離関数の微分可能性を調査すること。
• 標準的な内積による双対性の代わりに、Legendre変換を用いて凸関数のノルム勾配およびノルム部分勾配を定義・研究すること。
• 凸体の境界上での距離関数の部分微分を法線錐およびBirkhoff直交性を用いて特徴づけること。
• ノルムが滑らかで強く凸である場合に、距離関数が凸体の外部でクラス$C^1$に属することを確立すること。

提案手法

• ノルムのLegendre変換を用いて双対空間を識別し、ノルム空間における双対性を標準的な内積による識別とは異なる方法で実現する。
• Legendre変換を用いて凸関数のノルム部分勾配およびノルム勾配を定義し、ノルムの双対構造に基づく幾何的解釈を可能にする。
• Birkhoff直交性の概念を用いて、距離関数のノルム勾配と凸体の外法線を関連付ける。
• 方向微分および支持方向を用いて、境界付近および外部における距離関数の挙動を分析する。
• $x = p_K(x) + \mathrm{dist}(x,K) \cdot \eta_K(x)$という恒等式を用いて、$\mathbb{R}^n \setminus K$におけるノルム勾配の連続性を示す。
• Legendre変換による部分微分の特徴づけを適用し、$\partial d_K(x) = \mathrm{NC}(K,x)$を境界$\partial K$上で証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ノルム空間における凸体へのメトリック射影が一意に定まるためのノルムおよび凸体の条件は何か？
• RQ2 環境ノルムが滑らかで強く凸であるとき、凸体の外部における距離関数は微分可能か？
• RQ3 Legendre変換を用いて、非ユークリッド的ノルムにおける凸関数のノルム部分勾配および勾配をどのように定義・研究できるか？
• RQ4 距離関数のノルム部分勾配と凸体の法線錐の関係は何か？
• RQ5 滑らかで強く凸なノルムにおいて、Birkhoff直交性を用いて距離関数のノルム勾配を特徴づけられるか？

主な発見

• 距離関数$d_K$は、任意の点$x \in \mathbb{R}^n \setminus K$において、ノルムが滑らかで強く凸である場合に限り微分可能である。
• 点$x \in \mathbb{R}^n \setminus K$における$d_K$のノルム勾配は、単位外法線$\eta_K(x)$に等しく、すなわち$\nabla d_K(x) = \eta_K(x)$である。
• 境界点$x \in \partial K$における$d_K$のノルム部分微分は、正確に法線錐$\mathrm{NC}(K,x)$に等しく、したがって$d_K$は境界上では微分可能でない。
• ノルム勾配$\nabla d_K$は$\mathbb{R}^n \setminus K$で連続であり、したがって$d_K$は$K$の外部でクラス$C^1$に属する。
• 外法線方向における$d_K$の方向微分は$(d_K)'_+(x, \eta_K(x)) = 1$を満たし、幾何的直観と整合的であることが確認される。
• 点$x \in \partial K$における$d_K$の部分微分はBirkhoff直交性を用いて特徴づけられる：$v \in \partial d_K(x)$であるための必要十分条件は、$v$が単位外法線であり、かつ$v \dashv_B \mathbf{h}$（$x$における支持超平面$\mathbf{h}$に関して）を満たすことである。