[論文レビュー] Smooth classifying spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、微分可能空間を用いて、主 bundle の滑らかな分類空間理論を発展させ、滑らかさの設定におけるホモトピー不変性の失敗を克服するための D-可数主 bundle を導入する。滑らかな普遍 bundle である EG → BG を構成し、それらが D-可数主 G-bundle を分類することを証明し、滑らかなホモトピー類とそれらの bundle の同型類の間の全単射を確立する。

ABSTRACT

We develop the theory of smooth principal bundles for a smooth group $G$, using the framework of diffeological spaces. After giving new examples showing why arbitrary principal bundles cannot be classified, we define $D$-numerable bundles, the smooth analogs of numerable bundles from topology, and prove that pulling back a $D$-numerable bundle along smoothly homotopic maps gives isomorphic pullbacks. We then define smooth structures on Milnor's spaces $EG$ and $BG$, show that $EG o BG$ is a $D$-numerable principal bundle, and prove that it classifies all $D$-numerable principal bundles over any diffeological space. We deduce analogous classification results for $D$-numerable diffeological bundles and vector bundles.

研究の動機と目的

• 滑らかな主 bundle の分類において、滑らかにホモトピックな写像が非同型な引き戻しをもたらすという、ホモトピー不変性の失敗を解消すること。
• 微分可能空間上の滑らかな分割関数を用いて、可数主 bundle の滑らかな類似物である D-可数主 bundle を開発すること。
• 微分可能群 G に対して、D-可数主 G-bundle を分類する滑らかな普遍 bundle である EG → BG を構成すること。
• 関連 bundle の構成を用いて、D-可数微分可能 bundle およびベクトル bundle への分類を拡張すること。
• 微分可能ホモトピー理論を用いて、微分可能特性類および微分可能 K-理論の基礎を提供すること。

提案手法

• 多様体を超える滑らかな構造を扱えるようにするために、微分可能空間の枠組みを採用し、関数空間、商空間、特異空間の取り扱いを可能にする。
• 自明化被覆に相対する滑らかな分割関数を許容する主 bundle を D-可数主 bundle として定義し、引き戻しのホモトピー不変性を保証する。
• Milnor の普遍 bundle の集合論的類似物である EG と BG を構成するが、滑らかさを保つために微分可能構造を導入する。
• 滑らかな関数 F が滑らかな再正規化関数のゼロ点を検出できることを用いて、EG → BG が D-可数主 G-bundle であることを証明する。
• 滑らかな関数 F: C∞(ℝ, ℝ≥0) → ℝ≥0 を、f > 0 であれば F(f) = exp(−exp(∫₀¹ 1/f(x) dx))、そうでなければ 0 として定義し、ホモトピー的議論における非滑らかな min 関数の代わりに用いる。
• 任意の微分可能空間 B に対して、滑らかなホモトピー類 [B, BG] と D-可数 G-bundle の同型類 Prinᴳᴰ(B) の間の自然な全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な分類空間が微分可能空間の設定における滑らかな主 bundle に失敗するのはなぜか？
• RQ2 微分可能カテゴリーにおいて引き戻しのホモトピー不変性を保証する、可数主 bundle の滑らかな類似物は何か？
• RQ3 Milnor の普遍 bundle である EG と BG は、微分可能空間の枠組みにおいて滑らかな構造を備えることができるか？
• RQ4 D-可数主 bundle の分類は、どのように微分可能空間およびベクトル bundle に拡張できるか？
• RQ5 ホモトピー論的構成において、滑らかな正関数のゼロ点を検出するために、非滑らかな最小関数に代わる滑らかな関数は何か？

主な発見

• 滑らかに収縮可能な微分可能空間上に、恒等写像と定値写像が滑らかにホモトピックであるが、それらが非同型な引き戻しをもたらす滑らかな主 bundle が存在する。これは、すべての滑らかな主 bundle を分類する分類空間が存在しないことを示している。
• D-可数主 G-bundle は、滑らかにホモトピックな写像に沿った引き戻しが同型であるという重要な性質を満たしており、ホモトピー不変性が保証される。
• C∞(ℝ, ℝ≥0) 上で定義された関数 F は、関数が [0,1] 上でゼロになるかどうかを検出でき、最小関数の非滑らかさにもかかわらず滑らかである。
• EG と BG を微分可能空間として構成することで、任意の微分可能空間 B 上のすべての D-可数 G-bundle を分類する普遍的 D-可数主 G-bundle である EG → BG が得られる。
• 全単射 [B, BG] → Prinᴳᴰ(B) は B に関して自然であり、BG は D-可数 G-bundle の分類空間として滑らかなホモトピー同値性の意味で一意に定まる。
• 理論は、微分可能群 Diff(F) を用いた微分可能空間 F をファイバーとする D-可数微分可能 bundle への拡張に及び、関連 bundle の構成を用いて D-可数ベクトル bundle への分類へと拡張できる。