[論文レビュー] Smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle

Sergiy Maksymenko, Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元トーラス上の滑らかなモーツァー関数で、Kronrod-Reeb図形に正確に1つのサイクルを含むものについて研究している。その結果、このような関数の軌道空間の基本群は、円筒部分面の軌道の基本群を含む半直積に同型であることが示され、軌道の位相的複雑さがより単純な表面のものに還元されることを示している。主な結果は、群の同型と経路空間への誘導作用を通じたホモトピー的還元を確立する。

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a connected compact surface $M$, and $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be respectively the stabilizer and the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms $\mathcal{D}(M)$. In a series of papers the first author described the homotopy types of connected components of $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ for the cases when $M$ is either a $2$-disk or a cylinder or $χ(M)<0$. Moreover, in two recent papers the authors considered special classes of smooth functions on $2$-torus $T^2$ and shown that the computations of $π_1\mathcal{O}(f)$ for those functions reduces to the cases of $2$-disk and cylinder. In the present paper we consider another class of Morse functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ whose KR-graphs have exactly one cycle and prove that for every such function there exists a subsurface $Q\subset T^2$, diffeomorphic with a cylinder, such that $π_1\mathcal{O}(f)$ is expressed via the fundamental group $π_1\mathcal{O}(f|_{Q})$ of the restriction of $f$ to $Q$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o \mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上の滑らかな関数の軌道空間のホモトピー型を、Kronrod-Reeb図形に正確に1つのサイクルを含むものとして理解すること。
• より単純な表面（円板、円筒）における軌道および安定化部分群のホモトピー型に関する先行結果を、非自明な位相をもつ2次元トーラスへと拡張すること。
• 2次元トーラスに埋め込まれた円筒部分面の軌道の基本群への、軌道空間の基本群の構造的還元を確立すること。
• 経路空間への誘導作用と群作用を用いて、軌道空間の基本群を特徴付けること。

提案手法

• 著者らは、2次元トーラス $ T^2 $ の部分面 $ Q \subset T^2 $ を特定し、これは円筒と微分同相であるが、$ f $ のトーラス上での本質的な位相的データを捉えている。
• 有限位数の微分同相 $ g $ を用いて、$ Q $ の成分を置換する作用を定義し、$ Q $ の微分同相群上の経路空間へ $ \mathbb{Z}_n $-作用を構成する。
• $ g $ の作用を用いて、経路空間上の誘導写像を通じて、軌道空間の基本群に半直積構造を定義する。
• 写像 $ \eta $ を、$ \mathbb{Z}_n \to \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) $ の写像の空間から $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}, \mathcal{S}_{\mathcal{C}}) $ への群同型として定義し、軌道の位相と円筒部分面の関係を結ぶ。
• 写像 $ \xi $ を、$ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $ から $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $ への写像として定義し、五能論法を用いてそれが同型であることを示す。
• 正確な系列を含む図式の可換性を検証し、これにより $ \xi $ が同型であることを証明し、結果として軌道空間の基本群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kronrod-Reeb図形に正確に1つのサイクルを含む2次元トーラス上のモーツァー関数の軌道空間の基本群は、どのように分解されるか？
• RQ2 KR図形に1つのサイクルが存在する場合、軌道空間のホモトピー型は、円筒などのより単純な表面のものに還元可能か？
• RQ3 有限位数の微分同相の群作用は、トーラスの軌道位相と部分面のそれとの関係をどのように果たすか？
• RQ4 2次元トーラス上の軌道空間の基本群は、円筒部分面の軌道の基本群と、誘導同型を通じてどのように関係するか？
• RQ5 このような関数に対する $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ の代数的構造は何か？ そして、それはどのようにワイヤード積構成に符号化されるか？

主な発見

• Kronrod-Reeb図形に正確に1つのサイクルを含む任意のモーツァー関数 $ f: T^2 \to \mathbb{R} $ に対して、円筒と微分同相である部分面 $ Q \subset T^2 $ が存在し、$ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ は $ f|_Q $ の軌道の基本群と同型である。
• 基本群 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ は、$ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $ に同型であり、ここで $ n $ はサイクル内の成分数である。
• 写像 $ \xi: \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} \to \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $ は同型であり、軌道の基本群の完全な代数的記述を確立する。
• 同型 $ \xi $ は、微分同相 $ g $（位数 $ n $）が円筒部分面に作用するものに基づき、経路空間への誘導写像を通じて構成され、群準同型であることが確認されている。
• 正確な系列を含む図式は可換であり、五能論法により同型 $ \xi $ が確認され、これにより位相的還元が完了する。
• この結果は、臨界点における微分型が重複因子を持たない同次多項式と滑らかに同相であるような、$ T^2 $ 上の滑らかな関数の広いクラスに対して成り立つ。これは、単なるモーツァー関数に限らない。