[論文レビュー] Smooth perturbations of the functional calculus and applications to Riemannian geometry on spaces of metrics

Harms, Philipp|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 65被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン幾何学に関連するクラスの作用素における関数計算の正則的依存性を確立し、ソボレフ位相において分数階ラプラシアンがリーマン計量に関して実解析的になると証明する。主な応用として、すべてのリーマン計量の空間における分数階ソボレフ計量の測地線方程式の局所的適切性を示す。

ABSTRACT

We show that the functional calculus, which maps operators A to functionals f(A), is holomorphic for a certain class of operators A and holomorphic functions f. Using this result we are able to prove that fractional Laplacians depend real analytically on the underlying Riemannian metric in suitable Sobolev topologies. As an application we obtain local well-posedness of the geodesic equation for fractional Sobolev metrics on the space of all Riemannian metrics. (Joint work with Martins Bruveris, Martin Bauer, and Peter W. Michor)

研究の動機と目的

• 幾何解析に関連するクラスの作用素における関数計算の正則性を確立すること。
• ソボレフ位相において、分数階ラプラシアンが基礎となるリーマン計量にどのように依存するかを調査すること。
• 関数計算の結果を、リーマン計量の無限次元空間における幾何的構造の研究に応用すること。
• すべてのリーマン計量の空間における分数階ソボレフ計量の測地線方程式の局所的適切性を証明すること。

提案手法

• 特定の作用素クラスにおける正則関数計算を用いて、パラメータ依存性の解析的性質を保証する。
• 適切な作用素および関数の条件下で、写像 A ↦ f(A) が正則であることを確立する。
• 変化するリーマン計量に付随するラプラシアン＝ベルトラミ作用素の族に、正則性結果を適用する。
• 分数階ラプラシアン f(Δ_g) が、適切なソボレフ位相において計量 g に関して実解析的に依存することを証明する。
• 実解析的依存性を活用して、計量空間上の測地線スプラの正則性を分析する。
• 解析的枠組みを用いて、分数階ソボレフ計量における測地線の局所的存在および一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素 A のクラスおよび関数 f に対して、写像 A ↦ f(A) が正則であるための条件は何か？
• RQ2 ソボレフ位相において、分数階ラプラシアン f(Δ_g) はリーマン計量 g にどのように依存するか？
• RQ3 分数階ラプラシアンが計量に実解析的に依存することは、計量空間の幾何的性質の確立に利用できるか？
• RQ4 リーマン計量の空間における分数階ソボレフ計量の測地線方程式は、局所的に適切か？
• RQ5 分数階ソボレフ計量の文脈において、測地線スプラの正則性は何か？

主な発見

• 関数計算写像 A ↦ f(A) は、作用素 A のクラスおよび正則関数 f に対して正則である。
• 分数階ラプラシアンは、適切なソボレフ位相において、基礎となるリーマン計量に実解析的に依存する。
• 分数階ラプラシアンの計量への実解析的依存性は、計量空間上の幾何的フローの分析を可能にする。
• すべてのリーマン計量の空間における分数階ソボレフ計量の測地線方程式は、局所的に適切である。
• 解析的枠組みは、計量空間の無限次元多様体のリーマン幾何学を研究する基盤を提供する。
• 本研究の結果により、関数計算の適用範囲がリーマン計量の空間における幾何解析に拡張される。