[論文レビュー] SO(n,n+1)-surface group representations and their Higgs bundles

B. Collier|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Higgs bundle技法を用いて、種数 g ≥ 2 の曲面群の SO(n,n+1)-特徴的多様体の新たな連結成分をパラメータ化する。各 d ∈ (0, n(2g−2)] に対して、リーマン面の対称積上のベクトル bundle と偶数次正則微分形式の空間の直積に微分同相である、滑らかでヒッチンでない連結成分が存在することを示す。これらの成分には、非コンパクトで正のアノソフ表現のみが含まれており、論文は 2^{2g+1}−1 個のこのような成分を同定し、最大の場合を超えてヒッチンのパラメータ化を拡張する。

ABSTRACT

We study the character variety of representations of the fundamental group of a closed surface of genus $g\geq2$ into the Lie group SO(n,n+1) using Higgs bundles. For each integer $0

研究の動機と目的

• ヒッチンのヒッチン成分のパラメータ化を、最大でない、ヒッチンでない SO(n,n+1)-特徴的多様体の連結成分へ拡張すること。
• π₁(SO₀(n,n+1)) = ℤ₂×ℤ₂ における位相的不変量では区別できない、SO(n,n+1)-特徴的多様体の新たな連結成分を特定・記述すること。
• Higgs bundleおよびリーマン面の対称積を用いて、これらの成分の位相的および幾何的構造を特徴づけること。
• Guichard-Wienhardによる正則性の概念に基づく最近の結果を用い、これらの表現が正のアノソフであることを証明すること。
• これらの成分がコンパクトなザリスキ閉包にホモトープに変形できないこと、かつヒッチン成分とは位相的に異なること。

提案手法

• ホロモーフィック微分形式およびリーマン面 X の対称積上のベクトルバンドルを用いて、SO(n,n+1)-特徴的多様体の連結成分をHiggs bundle理論によりパラメータ化する。
• 各 d ∈ (0, n(2g−2)] に対して、滑らかな連結成分 X_d(SO(n,n+1)) を構成し、それぞれ F_d × ∏_{j=1}^{n−1} H⁰(K^{2j}) に微分同相であることを示す。ここで F_d は Sym^{n(2g−2)−d}(X) 上のベクトルバンドルである。
• 根系型 C_n によって定義される Θ-正則構造を用い、一般化された旗多様体 SO(n,n+1)/P_Θ を通じた正のアノソフ表現の理論を適用する。
• 埋め込み SO(n,n−1) × SO(2) ↪ SO(n,n+1) を用い、SO(n,n−1) や SO(n,n) におけるヒッチン表現が SO(n,n+1) に正のアノソフ表現に引き上げられることを用いる。
• d=0 および d=sw2/sw1 の成分における可約表現を解析し、等変境界曲線と群作用を用いて正のアノソフであることを示す。
• Guichard-Wienhardの正則性に関する結果を適用し、正のアノソフ表現の集合が可約領域で閉じていることを示し、成分のグローバル分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π₁(SO₀(n,n+1)) = ℤ₂×ℤ₂ における位相的不変量では区別されない SO(n,n+1)-特徴的多様体の連結成分は存在するか？ その位相的性質は何か？
• RQ2 g ≥ 2 の場合に、Higgs bundle技法を用いて SO(n,n+1)-特徴的多様体のヒッチンでない成分をパラメータ化できるか？
• RQ3 新しい成分には、非コンパクトなザリスキ閉包を持つ表現のみが含まれるか？ また、それらはコンパクトなザリスキ閉包への連続的変形が可能か？
• RQ4 これらの新しい成分に属する表現は、Guichard-Wienhardの意味での正のアノソフか？
• RQ5 0 < d < n(2g−2) の場合、連結成分 X_d(SO(n,n+1)) の正確な微分同相型は何か？
• RQ6 成分 X₀(SO(n,n+1)) および X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) は、対称積および正則微分形式の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 各 d ∈ (0, n(2g−2)] に対して、SO(n,n+1)-特徴的多様体に滑らかな連結成分 X_d(SO(n,n+1)) が存在し、F_d × ∏_{j=1}^{n−1} H⁰(K^{2j}) に微分同相である。ここで F_d は Sym^{n(2g−2)−d}(X) 上のベクトルバンドルである。
• d = n(2g−2) のとき、成分 X_d(SO(n,n+1)) はヒッチン成分であり、正則微分形式の次数 2n を用いたヒッチンの元のパラメータ化が回復される。
• ヒッチン成分および X_d 成分を除き、SO(n,n+1)-特徴的多様体に 2^{2g+1}−1 個の追加の連結成分が存在する。
• d > 0 の X_d(SO(n,n+1)) 成分に属するすべての表現は、非コンパクトなザリスキ閉包を持ち、コンパクトなザリスキ閉包を持つ表現に連続的に変形できない。
• 成分 X₀(SO(n,n+1)) および X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) には可約表現が含まれており、等変境界曲線と群の埋め込みを用いて正の P_Θ アノソフであることが示された。
• 正のアノソフ表現の集合は可約領域で閉じており、したがって X₀(SO(n,n+1)) および X^{sw2}_{sw1}(SO(n,n+1)) に属するすべての表現は、可約であっても正の P_Θ アノソフである。