[論文レビュー] Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期的ネストルートと一般化超幾何関数を用いて、5次および6次多項方程式を解くための新規な手法を提示する。一般化ブリング・ルートと呼ばれる新しい関数クラスを導入し、反復的超幾何級数とラグランジュ逆挙動を用いて、一般化されたテトラノミアル方程式および6次方程式を解く。これにより、ネストルートにおける閉形式解が得られる。

ABSTRACT

In this article we present solutions of certain polynomial equations in periodic nested radicals. We also present a new way to solve the general tetranomial equation with new functions. As application of these new functions we solve the general sextic equation.

研究の動機と目的

• 周期的ネストルートを用いて、一般化された5次方程式を体系的に解くための手法を開発すること。
• 超幾何関数と反復級数を用いて、古典的ブリング・ルートを高次形式に拡張すること。
• すべての6次方程式がチルンハウス変換を用いて解ける形に還元され、ネストルートで表現可能であることを示すこと。
• テトラノミアル方程式およびそれ以上の次数の多項方程式の解を統一的に扱う新しい特殊関数—一般化ブリング・ルート—を導入すること。
• ラグランジュ逆挙動とガンマ関数級数を用いて、これらのネストルート解の収束性と可解性の条件を確立すること。

提案手法

• 定理1を用いて、$ a q x^p + x^q = 1 $ の形の多項方程式の解をガンマ関数を含む無限級数で表現する。
• 退化5次方程式 $ x^5 + A x + B = 0 $ を解くために、一般化超幾何関数 $ \textbf{BR}(t) $ を定義し、古典的ブリング・ルートを拡張する。
• 一般5次および6次方程式を、ネストルート解に適した形に、チルンハウス変換を用いて簡約する。
• ラグランジュ逆挙動と一般化超幾何級数を用いて、$ \textbf{BR}_{\nu}(a) $、すなわち $ \nu $ 次のブリング・ルートと呼ばれる新しい関数クラスを導出する。
• 方程式 $ x^{2\mu} + b x^\mu + c = x^\nu $ の形に対して、再帰的ネストルート構造を導入し、周期的ネストルートに至る。
• ラグランジュ逆挙動定理を用いて、高次テトラノミアル方程式 $ X^\nu = k X^\mu + X + l $ の解の収束級数展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された5次方程式は、周期的ネストルートと一般化超幾何関数を用いて解けるか？
• RQ2 一般化された6次方程式は、チルンハウス変換とネストルートを用いてどのように還元され、解かれるか？
• RQ3 高次多項方程式のための一般化ブリング・ルート関数の構造と収束性の挙動はいかなるものか？
• RQ4 形が $ X^\nu = k X^\mu + X + l $ のテトラノミアル方程式は、反復的超幾何級数とネストルートを用いて解けるか？
• RQ5 高次多項方程式のネストルート解の収束性と有効性を保証する条件は何か？

主な発見

• 一般5次方程式 $ x^5 + A x + B = 0 $ は、超幾何関数 $ \textbf{BR}(t) $ を用いて解かれる。解は $ x = \sqrt[4]{-A/5} \cdot \textbf{BR}\left( -\sqrt[4]{5^5 / (-A)^5}/4 \cdot B \right) $ として与えられる。
• 一般6次方程式は、チルンハウス還元により $ y^6 + e_1 y^2 + f_1 y + g_1 = 0 $ の形に還元され、無限ネストルートとして表現可能な解が得られる。
• 新しい関数 $ \textbf{BR}_{\nu}(a) $ が一般化ブリング・ルートとして導入され、ガンマ関数を含む超幾何級数によって定義される。
• 方程式 $ X^\nu = k X^\mu + X + l $ に対して、二重級数（二項係数と超幾何項を含む）で定義される関数 $ \textbf{g}(w) $ を用いて解が構成される。
• テトラノミアル方程式 $ X^\nu = k X^\mu + X + l $ の解は $ X_2 = \textbf{BR}_{\nu}(\textbf{g}(l)) $ として与えられ、$ |k|, |l|, |kl^{-1}| < 1 $ の条件下で収束が保証される。
• 例として、$ X^{1/2} = -5 - 25X + 25X^2 $ の解が導出され、$ X_2 = \textbf{BR}_{2,1}(\textbf{g}(1/5)) $ と表される。ここで $ \textbf{g}(l) $ は、超幾何関数を含む無限級数によって計算される。