[論文レビュー] On a General Sextic Equation Solved by the Rogers Ramanujan Continued Fraction

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ロジャース＝ラマヌジャン連分数（RRCF）およびj不変量を用いて、一般の六次方程式を解くための新規な手法を提示する。方程式の係数をj不変量に関連付け、モジュラー媒介変数rを解くことで、RRCFの評価値によって解を表現し、j不変量が低次の特異モジュラスに対応する場合には根号を用いた解が得られる。

ABSTRACT

In this article we solve a general class of sextic equations. The solution follows if we consider the $j$-invariant and relate it with the polynomial equation's coefficients. The form of the solution is a relation of Rogers-Ramanujan continued fraction. The inverse technique can also be used for the evaluation of the Rogers-Ramanujan continued fraction, in which the equation is not now the depressed equation but another quite more simplified equation.

研究の動機と目的

• 六次方程式 $ \frac{b^2}{20a} + bX + aX^2 = C_1X^{5/3} $ をモジュラー関数を用いて解くこと。
• 六次方程式の係数とモジュラー形式のj不変量との間の関係を確立すること。
• 解がロジャース＝ラマヌジャン連分数（RRCF）およびデデキンドエータ関数の形で表現可能であることを示すこと。
• 六次方程式の代数的解を用いてRRCFの逆変換を評価する逆手法を提供すること。
• j不変量が次数 ≤4 の特異モジュラスに対応する場合、解が根号で表現可能であることを示すこと。

提案手法

• デデキンドエータ関数の比によって定義されるj不変量 $ j_r $ を用い、六次方程式とモジュラー媒介変数を結びつける。
• 係数 $ C_1 $ を $ j_r = 250C_1^3 a^{-2} b^{-1} $ を通じて $ j_r $ に関連付け、モジュラー媒介変数rを用いた解法を可能にする。
• 解 $ X $ を $ X = \frac{b}{250a} A_r $ として表現し、ここで $ A_r = R(q^2)^{-5} - 11 - R(q^2)^5 $、$ q = e^{-2\pi\sqrt{r}} $ とする。
• 既知の恒等式を用い、$ A_r $ を特異モジュラス $ k_r $、$ w_r = \sqrt{k_r k_{25r}} $、および超幾何関数と関連付ける。
• 5次モジュラー方程式 $ k_r k_{25r} + k_r' k_{25r}' + 2\cdot 4^{1/3}(k_r k_{25r} k_r' k_{25r}')^{1/3} = 1 $ を適用し、代数的表現を導出する。
• パラメータ $ L $ および $ M $ を用いたパラメトライゼーションにより、$ w_r $、$ k_r $、$ k_{25r} $ を根号で表現し、$ A_r $ の明示的評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の六次方程式 $ \frac{b^2}{20a} + bX + aX^2 = C_1X^{5/3} $ はモジュラー関数を用いて解けるか？
• RQ2 ロジャース＝ラマヌジャン連分数はj不変量および六次方程式の解法とどのように関係しているか？
• RQ3 六次方程式の解が根号で表現可能な条件は何か？
• RQ4 簡略化された代数的方程式の解を用いてRRCFの逆変換を評価できるか？
• RQ5 特異モジュラスおよび超幾何関数は、解の代数的表現にどのように寄与するか？

主な発見

• 六次方程式 $ \frac{b^2}{20a} + bX + aX^2 = C_1X^{5/3} $ の解は、$ r $ が $ j_r = 250C_1^3 a^{-2} b^{-1} $ を満たすとき、$ X = \frac{b}{250a} \left( R(e^{-2\pi\sqrt{r}})^{-5} - 11 - R(e^{-2\pi\sqrt{r}})^5 \right) $ で与えられる。
• j不変量 $ j_r $ が次数 $ \nu \leq 4 $ の特異モジュラスに対応する場合、解 $ X $ は根号で表現可能であり、$ r = 3/4 $ の場合に四次方程式の解として確認された。
• $ r = 68 $ の場合、解はネストされた根号を含む：$ Y_{\sqrt{-68/5}} = \frac{5}{16}\left(5360 + 585\sqrt{85} + 4\sqrt{3613670 + 391950\sqrt{85}}\right) \cdot \left( \sqrt{x+4} - \sqrt{x} \right) $ であり、明示的な整数係数を持つ。
• 逆変換により、RRCFの評価が $ N(q^2) = \frac{1}{5} \left( R(q^2)^{-5} - 11 - R(q^2)^5 \right)^{1/6} $ を通じて可能となり、$ X = \frac{125b}{2a} N(q^2)^6 $ が得られる。
• 解は $ X_r $ と $ X_{4r} $ を含む三次関係式 $ 2^{2/3}a^{1/3}b^{1/3}(X_r X_{4r})^{1/3} + \frac{10 \cdot 2^{1/3}a}{b^{1/3}}(X_r X_{4r})^{2/3} - 2a^{2/3}(X_r + X_{4r}) = 0 $ を満たす。
• $ C_1^3 = 32a^2b $ の場合、解は $ X = \frac{b}{250a} \left( R(e^{-2\pi\sqrt{2}})^{-5} - 11 - R(e^{-2\pi\sqrt{2}})^5 \right) $ に簡略化され、閉形式での評価が可能になる。