[論文レビュー] Solutions to WDVV from generalized Drinfeld-Sokolov hierarchies

Oleksandr Pavlyk|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Weyl群の原始的正規共役類に対応する一般化されたDrinfeld-Sokolov階層の分散なし極限を用いて、WDVV方程式の代数的解を構成する。ハミルトニアン還元とWhitham平均化を組み合わせることで、非標準的階層に対処し、得られるフォロビウス構造がWeyl群に等しいモノドロミー群を持つ平坦計量を与えることを証明する。$\mathfrak{g} = D_4$ および $[w] = D_4(a_1)$ の場合に明示的に例示する。この手法により、可積分系およびフォロビウス多様体論を用いて、既知の多項式解からより広いクラスの代数的解へと一般化される。

ABSTRACT

The dispersionless limit of generalized Drinfeld-Sokolov hierarchies associated to primitive regular conjugacy class of Weyl group W(g) is discussed. The map from these generalized Drinfeld - Sokolov hierarchies to algebraic solutions to WDVV equations has been constructed. Finite dimensional geometry behind hierarchies is studied. Example of g=D_4 and [w]=D_4(a_1) is considered in details and corresponding Frobenius structure is found.

研究の動機と目的

• Coxeter型階層を超えて、非Coxeter的原始的正規共役類を含むWDVV方程式の代数的解の構成を拡張すること。
• 一般化されたDrinfeld-Sokolov階層におけるナイーブな分散なし極限の失敗を、ハミルトニアン還元とWhitham平均化を組み合わせることで解決すること。
• 得られるポアソン構造が非退化な平坦計量を生じ、分散なし系の平均化からフォロビウス構造を抽出できることを証明すること。
• 特に$\mathfrak{g} = D_4$ および $[w] = D_4(a_1)$ の場合に、フォロビウス構造を明示的に構成・解析し、モノドロミー群と不変多項式を含むこと。

提案手法

• Weyl群$\mathcal{W}(\mathfrak{g})$における原始的正規共役類$[w]$に付随する有限位数の内部自己同型によって定義されるアフィンKac-Moody代数のgradationを用いる。
• 正規元$\Lambda$に付随するヘイゼンベルク部分代数$\mathcal{H}^{[w]}$を用いて、一般化されたDrinfeld-Sokolov階層に対するハミルトニアン還元を適用する。
• 最初のポアソン構造の annihilator の密度でパrameter化される部分多様体に制限するために、Whitham平均化を用いることで、分散なし極限が適切に定義可能になる。
• $\epsilon \to 0$ の極限をとることで、還元系の結果として得られるポアソン構造が、流体的型のままであり、非退化のままであることを保証する。
• 平坦座標を特定し、分散なし極限からフォロビウス多様体構造を構成し、WDVVの結合性および計量条件を検証する。
• Miura変数に作用する有限群$R$を分析し、$R$-不変多項式環を計算することで、解空間を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非Coxeter的原始的正規共役類に付随する一般化されたDrinfeld-Sokolov階層の分散なし極限が、WDVV方程式の代数的解を与えるか。
• RQ2 なぜ一般化されたDrinfeld-Sokolov階層ではナイーブな分散なし極限が失敗するのか、そしてその失敗をどのように是正できるか。
• RQ3 このような階層から構成されたフォロビウス多様体のモノドロミー群は何か。また、Weyl群$\mathcal{W}(\mathfrak{g})$とどのように関係するか。
• RQ4 $\mathfrak{g} = D_4$ および $[w] = D_4(a_1)$ の場合に、平均化された分散なしポアソン構造からフォロビウス構造をどのように明示的に抽出できるか。
• RQ5 有限群$R$およびその不変多項式環は、WDVV方程式の解空間を特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• 原始的正規共役類に付随する一般化されたDrinfeld-Sokolov階層の分散なし極限は、WDVV方程式の代数的解を与える。
• 得られるフォロビウス多様体のモノドロミー群はWeyl群$\mathcal{W}(\mathfrak{g})$と同型であり、期待される大域的対称性が確認される。
• $\mathfrak{g} = D_4$ および $[w] = D_4(a_1)$ の場合に、平坦座標および前処理関数$F(t)$を明示的に構成する。ここで$\hat{\mathfrak{g}}_0(\mathbf{s}_w) = u(1)^{\otimes 6} \oplus su(2)$である。
• $D_4(a_1)$に対するMiura変数に作用する有限群$R$は$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$であることが判明し、$R$-不変多項式環は8つの基本不変量によって生成される。
• 計量の非退化性は厳密に証明され、平坦座標はWhitham平均化系を介して明示的に計算可能である。
• 本手法により、既知の多項式解（Coxeter型階層からのもの）が、可積分系およびフォロビウス多様体論を用いて、より広いクラスの代数的解へと一般化された。