[論文レビュー] Some classes of power functions with low c-differential uniformity over finite fields

Zhengbang Zha, Lei Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数標数の有限体上におけるべき関数の $c$-微分均一性を調査し、$c$-微分均一性が低い（$\text{}_c\triangle_f \leq 3$）6つの新しい関数クラスを導入する。二次的特徴の性質を分析し、有限体上での方程式を解くことで、$c = -1$ の場合に2つの新しい完全 $c$-非線形（PcN）関数を構成し、ほぼ完全 $c$-非線形関数に関する既知の結果を拡張し、乗法的微分暗号解読に対する耐性を高める。

ABSTRACT

Functions with low c-differential uniformity have optimal resistance to some types of differential cryptanalysis. In this paper, we investigate the c-differential uniformity of power functions over finite fields. Based on some known almost perfect nonlinear functions, we present several classes of power functions $f(x)=x^d$ with $_{c}Δ_f\leq3$. Especially, two new classes of perfect c-nonlinear power functions are proposed.

研究の動機と目的

• 奇数標数の有限体上における既知のほぼ完全非線形（APN）べき関数の $c$-微分均一性を調査すること。
• $c = \pm 1$ の場合に $\text{}_c\triangle_f \leq 3$ を満たす、$f(x) = x^d$ 形式のべき関数の新しいクラスを同定すること。
• $c = -1$ の場合に新しい完全 $c$-非線形（PcN）関数を構成し、標準的な $c=1$ の場合を越えて $c$-微分均一性の理論を拡張すること。
• 有限体上での $f(x+1) - c f(x) = b$ の解の個数を特徴付けるために、二次的特徴の分析と方程式の解法技術を適用すること。
• ディクソン多項式の性質と $\mathbb{F}_{p^n}$ 内の指数構造を活用することで、既知の $c$-微分均一性に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_{p^n}^*$ 内での元の平方性を分類するため、二次的特徴 $\chi(x) = x^{(p^n-1)/2}$ を用い、$\chi(x)$ と $\chi(x+1)$ の符号に基づく場合分けを可能にする。
• $c = \pm 1$ の場合に $\mathbb{F}_{p^n}$ 上で方程式 $(x+1)^d - c x^d = b$ を分析し、$\chi(x)$ と $\chi(x+1)$ の符号に応じて解を分解する。
• $(n/\gcd(n,k))$ が奇数のとき $\gcd(p^k + 1, p^n - 1) = 2$ が成り立つことを利用し、$x^{p^k+1}$ がPN（完全非線形）であることを保証し、これを変更された指数へと拡張する。
• $\eta \in \mathbb{F}_{p^{2n}}^*$ を用いて $x = \eta + \eta^{-1}$ の変換を適用し、トレースに類似した恒等式で要素を表現し、解の個数を導出する。
• Lemma 2.2 を適用し、$\text{}_c\triangle_f$ の計算を、$b \in \mathbb{F}_{p^n}$ における $f(x+1) - c f(x) = b$ の解の個数の最大値に還元する。
• Akbary-Ghioca-Wang の基準およびその一般化を用いて、特に $c = -1$ の場合の $c$-微分均一性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上の既知のAPNべき関数のうち、$c \neq 1$ の場合に低い $c$-微分均一性を示すものはどれか？
• RQ2 $c = -1$ の場合に、既知のAPN関数を用いて新しい完全 $c$-非線形（PcN）関数を構成できるか？
• RQ3 $\mathbb{F}_{p^n}^*$ の二次的特徴が、$f(x+1) - c f(x) = b$ の解の個数にどのように影響するか？
• RQ4 指数 $d$ と体パラメータにどのような条件を課すと、$c = \pm 1$ の場合に $\text{}_c\triangle_f \leq 3$ が保証されるか？
• RQ5 $x^{p^k+1}$ が $n/\gcd(n,k)$ が奇数のときPNであることが知られているが、この構造は $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$ のような $x^d$ にどのように一般化されるか？

主な発見

• $p^n \equiv 3 \pmod{4}$ かつ $n/\gcd(n,k)$ が奇数のとき、べき関数 $f(x) = x^{\frac{p^n-1}{2} + p^k + 1}$ は $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 3$ かつ $\text{}_1\triangle_f \leq 6$ を満たす。
• $p^n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、同じ関数は $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 6$ かつ $\text{}_1\triangle_f \leq 3$ を満たし、体の標数の偶奇に応じた $c$-均一性の対称性が示される。
• $c = -1$ の場合に、2つの新しい完全 $c$-非線形（PcN）関数が、上記の条件のもとで $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$ のとき構成された。
• $c = 1$ の場合、$f(x+1) - f(x) = b$ の解の最大個数は6以下であり、$c = -1$ の場合、3以下である。これは乗法的微分攻撃に対する強い耐性を示している。
• $x^{p^k+1}$ は $n/\gcd(n,k)$ が奇数のときPNであるが、本稿ではこの性質を、$c$-微分均一性が制御されたより広い指数クラスへ一般化している。
• 分析により、$\text{}_c\triangle_f$ は $p^n - 1$ を法として指数が同値である場合に不変であり、$c = \pm 1$ の場合に $c$-等価性のもとで $c$-微分均一性が保存されることを確認した。