[論文レビュー] Some Extremal Values of the Number of Congruences of a Finite Lattice

Júlia Kulin, Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、サイズ $n$ の有限ラティスにおける合同関係の数の3番目、4番目、5番目に大きい値を特定し、$n \geq 5$ の場合に3番目の最大値が $5 \cdot 2^{n-5}$ であることを証明している。$n \geq 6$ の場合、4番目と5番目の最大値はそれぞれ $2^{n-3}$ と $7 \cdot 2^{n-6}$ である。これらの値を達成するラティス構造と合同関係ラティスの特徴を順序和と水平和を用いて特定し、有限ラティスにおける極値的合同関係数に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

We study the smallest, as well as the largest numbers of congruences of lattices of an arbitrary finite cardinality $n$. Continuing the work of Freese and Cz\' edli, we prove that the third, fourth and fifth largest numbers of congruences of an $n$--element lattice are: $5\cdot 2^{n-5}$ if $n\geq 5$, respectively $2^{n-3}$ and $7\cdot 2^{n-6}$ if $n\geq 6$. We also determine the structures of the $n$--element lattices having $5\cdot 2^{n-5}$, respectively $2^{n-3}$ congruences, along with the structures of their congruence lattices.

研究の動機と目的

• 与えられたサイズ $n$ の有限ラティスにおける極値的値、特に3番目、4番目、5番目に大きい合同関係数の数を特定すること。
• $n$ 要素からなるラティスでその極値的合同関係数を達成するラティスを特徴づけること。
• そのような極値的ラティスの合同関係ラティスの同型型を記述すること。
• フリーズとツェドルの先行研究（有限ラティスにおける最大合同関係数）を拡張すること。
• CFI表現可能性問題に貢献し、$k$ が極値的合同関係数であるような三つ組 $(k, n, n)$ が有限ラティスによって表現可能であるかを同定すること。

提案手法

• 著者たちは、基本的なラティス（$\mathcal{L}_r$, $N_5$, $\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3$, $\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5$, $\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4$）の順序和と水平和を用いて極値的ラティスを構成している。
• 帰納法と構造的分解技術を用い、少ない要素数のラティスの合同関係ラティスに関する先行研究（例：[8]）の結果に依拠している。
• 分配的およびモジュラーなラティスにおけるブール型合同関係ラティスの既知の結果を活用し、得られた合同関係ラティスの同型型を特定している。
• ラティスが分配的またはモジュラーである場合、その合同関係ラティスが鎖の直積またはブールラティスに同型であるという事実を応用している。
• 5番目に大きい値の証明には、小さい $n$ に対する結果を仮定する帰納的議論を用い、中間の値を除外するために背理法を用いている。
• 著者たちは、小さいケースでの構造的パターンを観察し、$7 \cdot 2^{n-6}$ 合同関係を達成するラティスの構造を予想している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $n$ のラティスにおいて、$n \geq 5$ の場合に3番目に大きい合同関係数は何か？
• RQ2 サイズ $n$ のラティスにおいて、$n \geq 6$ の場合に4番目に大きい合同関係数は何か？
• RQ3 サイズ $n$ のラティスにおいて、$n \geq 6$ の場合に5番目に大きい合同関係数は何か？
• RQ4 どの $n$ 要素ラティスがこれらの極値的合同関係数を達成するか？
• RQ5 3番目、4番目、5番目に大きい合同関係数を達成するラティスの合同関係ラティスの同型型は何か？

主な発見

• $n \geq 5$ の場合、$n$ 要素ラティスにおける3番目に大きい合同関係数は $5 \cdot 2^{n-5}$ であり、$r \in \overline{1,n-4}$ の範囲で $\mathcal{L}_r \dotplus N_5 \dotplus \mathcal{L}_{n-r-3}$ の形のラティスによって達成される。
• $n \geq 6$ の場合、4番目に大きい合同関係数は $2^{n-3}$ であり、$\mathcal{L}_r \dotplus (\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3) \dotplus \mathcal{L}_{n-r-4}$ または $\mathcal{L}_s \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_t \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_{n-s-t-4}$ の形（$s,t \in \mathbb{N}^*$ かつ $s+t \leq n-5$）のラティスによって達成される。
• $n \geq 6$ の場合、5番目に大きい合同関係数は $7 \cdot 2^{n-6}$ であり、著者たちはその値を達成するラティスが $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$ または $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$（$k \in \overline{1,n-5}$）に同型であると予想している。
• $5 \cdot 2^{n-5}$ 合同関係を達成するラティスの合同関係ラティスは $\mathcal{L}_2^{n-5} \times (\mathcal{L}_2 \dotplus \mathcal{L}_2^2)$ に同型であり、これはブール型ではなくモジュラーでもない。
• $2^{n-3}$ 合同関係を達成するラティスの合同関係ラティスは $\mathcal{L}_2^{n-3}$ に同型であり、これはブールラティスであり、ラティスが分配的であることに一致する。
• $2^{n-1}$ または $2^{n-2}$ 合同関係を達成するラティスの合同関係ラティスはそれぞれ $\mathcal{L}_2^{n-1}$ または $\mathcal{L}_2^{n-2}$ に同型であり、これは分配的またはモジュラーなラティスであるためである。