[論文レビュー] Some infinite series involving hyperbolic functions

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双曲線関数を含む無限級数を評価するための線積分および留数計算の手法を開発し、それらをリーマン・ゼータ関数の値で明示的に表現する。主な貢献として、ζ(2n+1) に対するラマヌジャンの公式の導出、新しい級数恒等式の確立、留数に基づく和分技術を用いた指数関数および双曲線項を含む無限積の計算が挙げられる。

ABSTRACT

This paper develops an approach to the evaluation of infinite series involving hyperbolic functions. By using the approach, we give explicit formulas for several classes of series of hyperbolic functions in terms of Riemann zeta values. Moreover, we also establish many relations involving two or more series of hyperbolic functions. Furthermore, we obtain the Ramanujan's formula for ζ(2n + 1) and find another similar formulas. The approach is based on simple contour integral representations and residue computations. Some interesting (known or new) consequences and illustrative examples are considered.

研究の動機と目的

• 双曲線関数を含む無限級数を複素解析的手法を用いて体系的に評価するための方法を開発すること。
• このような級数をリーマン・ゼータ関数の値で表現し、既知の結果を拡張すること。
• ζ(2n+1) に対するラマヌジャンの公式を留数計算を用いて再導出し、類似の新しい恒等式を発見すること。
• 双曲線級数、調和数、および特別な無限積との関係を確立すること。
• 留数理論を用いて、指数関数および双曲線関数を含む特定の無限積の正確な値を計算すること。

提案手法

• 線積分および留数定理を用いて、無限級数を有限の留数計算に還元することで評価する。
• 核関数および s⁻² に比例して減少する有理関数に関する補題 1.1 を適用し、和分恒等式を導出する。
• 双曲線関数および三角関数を含む二次積の部分分数展開を、主要な道具として用いる。
• ベルヌーイ数およびオイラー数の母関数を用いて、級数とゼータ関数の値を結びつける。
• リーマン・ゼータ関数の関数等式およびシータ関数のモジュラー性を、積の評価に応用する。
• coth および tanh 関数を含む級数と関連付けることで、無限積の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析的手法を用いて、双曲線関数の無限級数を体系的に評価できるか？
• RQ2 このような級数と、奇数の整数におけるリーマン・ゼータ関数との正確な関係は何か？
• RQ3 留数計算を用いて、ラマヌジャンの ζ(2n+1) の公式を再導出し、拡張できるか？
• RQ4 指数関数および双曲線項を含む特定の無限積の閉形式評価は何か？
• RQ5 調和数は、無限級数における双曲線関数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、線積分および留数計算を用いて、ラマヌジャンの ζ(2n+1) の公式を導出している。
• ζ(2n+1) に対するラマヌジャンの公式と類似した新しい公式を確立し、奇数のゼータ関数値に関する既知の結果を拡張している。
• ∑₁^∞ 1/(n sinh(πn)) = π/12 − (1/4)log 2 などの級数に対して明示的な評価が得られている。
• 積の展開を用いて、恒等式 ∑₁^∞ (coth(πn)/n)(−1)^(n−1) = (1/4)log 2 + π/6 が証明されている。
• ∏ₙ₌₁^∞ (1 + e^−πn) = 2^(-1/8) e^(π/24) などの無限積が閉形式で評価されている。
• 留数に基づく恒等式を用いて、∏ₙ₌₁^∞ (1 − e^−πn) = π^(1/4) e^(π/24) / (2^(3/8) Γ(3/4)) の計算がなされている。