[論文レビュー] Some intersection numbers of divisors on toroidal compactifications of A_g

Cord Erdenberger, Samuel Grushevsky+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、 principally polarized abelian varieties の moduli space の perfect cone toroidal compactification $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 上での Hodge line bundle $L$ と境界 divisor $D$ の top 交差数を計算する。部分的コンパクト化および生成関数を用いた交差理論により、$L$ のべきが $\mathcal{A}_k$ の次元に対応する $k \leq g$ の場合を除き、すべての交差数が消えることを証明する。非ゼロとなるのは三つの値に限られ、$L^G$、$L^{G-g}D^g$、および $L^{G-2g+1}D^{2g-1}$ であり、最後のものは三つの項 (I)、(II)、(III) に分解して明示的に計算される。

ABSTRACT

We study the top intersection numbers of the boundary and Hodge class divisors on toroidal compactifications of the moduli space $A_g$ of principally polarized abelian varieties and compute those numbers that live away from the stratum which lies over the closure of $A_{g-3}$ in the Satake compactification.

研究の動機と目的

• perfect cone compactification の $\mathcal{A}_g$ 上の divisor における top 交差数 $\langle L^{G-N}D^N \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$ を計算すること。ここで $G = \frac{g(g+1)}{2}$ は次元である。
• 特に、Picard 群が Hodge バンドル $L$ と境界 divisor $D$ によって生成されることに注目し、$N < 3g - 3$ の範囲で非ゼロとなる交差数を特定すること。
• 既知の低次元の場合（$g \leq 4$）の結果を高次元に拡張し、以前未知であった交差数 $a_{2g-1}^{(g)} = \langle L^{(g-2)(g-1)/2} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} $ を計算すること。
• Satake コンパクト化における $\mathcal{A}_{g-3}$ の閉包上のストラトゥムの外側で、交差数の消えるパターンが他の toroidal コンパクト化に対しても成り立つことを示す枠組みを提供すること。

提案手法

• Satake コンパクト化における $\mathcal{A}_{g-3}$ のストラトゥムに対応する $\beta_3$ を除いた部分的コンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}} \setminus \beta_3$ 上での交差理論を用いる。
• 特に $\frac{2x}{1 - e^{-2x}}$ および $\frac{e^x - 1}{x}$ を含む生成関数とべき級数展開を用い、交差数に関連する係数を計算する。
• 交差数 $a_{2g-1}^{(g)}$ を三つの部分 (I)、(II)、(III) に分解し、それぞれ別個の定理（定理 9.5、8.3、7.5）を用いて計算する。そのうち (I) は低次元の不変量の組み合わせとして表現される。
• Hirzebruch-Mumford 比例性を用いて Hodge バンドルの自己交差 $L^G$ を計算し、van der Geer の手法を $D^g$ の場合に適応する。
• 特に $g \leq 3$ の場合、すべての toroidal コンパクト化が一致するため、適切なファンの構造とコンパチビリティ条件に依存する。
• 符号計算（Maple を用いて）により $g = 2$ から $7$ まで数値的に妥当性を検証し、$g \leq 4$ では既存の結果と一致し、$g > 4$ では新たな値が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N < 3g - 3$ の範囲で、交差数 $\langle L^{G-N}D^N \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}}$ のうち非ゼロとなるのはどれか？
• RQ2 以前未知であった交差数 $a_{2g-1}^{(g)} = \langle L^{(g-2)(g-1)/2} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} $ の明示的公式は何か？
• RQ3 交差数の消えるパターンは、$\mathcal{A}_g$ の他の toroidal コンパクト化へ一般化可能か？
• RQ4 交差数は部分的コンパクト化の幾何と Picard 群の構造とどのように関係しているか？
• RQ5 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 上の交差数は、Voronoi や Igusa コンパクト化などの他の toroidal モデルへ拡張可能か？

主な発見

• $N < 3g - 3$ の範囲で非ゼロとなる交差数は $N = 0$、$N = g$、$N = 2g - 1$ のみであり、それ以外はすべてゼロとなる。
• $L^G$ のトップ自己交差は、Hirzebruch-Mumford 比例性により $\langle L^G \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = (-1)^G 2^{-g} G! \prod_{k=1}^g \frac{\zeta(1-2k)}{(2k-1)!!}$ として計算される。
• 第二の非ゼロ値は $\langle L^{G-g} D^g \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = \frac{1}{2}(-1)^{G-1} (g-1)! (G-g)! \prod_{k=1}^{g-1} \frac{\zeta(1-2k)}{(2k-1)!!}$ であり、van der Geer の手法から導出される。
• $L^{G-2g+1}D^{2g-1}$ の第三の非ゼロ値は $\langle L^{G-2g+1} D^{2g-1} \rangle_{\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}} = (I) + (II) + (III)$ として明示的に計算され、(I) は低次元不変量と生成関数の組み合わせとして表現される。
• $g = 2$ から $7$ までの数値は計算され、表形式で提示された。それぞれ $a_{2g-1}^{(g)} = -11/12, -203/240, -1759/3360, -59123/45360, -976649/13860, -49254708341/2332800$ である。
• 結果は、$a_N^{(g)} = 0$ であると予想されるが、$G - N = \dim \mathcal{A}_k = k(k+1)/2$ となる $k \leq g$ が存在する場合に限る。これは交差環に深いつながりのある構造的パターンを示唆している。