[論文レビュー] Some Unified Integrals Associated with Generalized Bessel-Maitland Function

M. S. Abouzaid, A. H. Abusufian+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化されたベッセル＝マイタランド関数を含む統一的な積分公式を導出し、それらを一般化されたライツハイパージェオメトリック関数の形で表現する。収束条件の下で積分表現と級数展開を適用することで、ベッセル関数およびベッセル＝マイタランド関数の既知の積分を一般化する新しい結果を確立し、特殊ケースとして古典的ベッセル関数の積分が回復される。

ABSTRACT

Generalized integral formulas involving the generalized Bessel-Maitland function are considered and it expressed in terms of generalized Wright hypergeometric functions. By assuming appropriate values of the parameters in the main results, we obtained some interesting results of ordinary Bessel function.

研究の動機と目的

• 一般化されたベッセル＝マイタランド関数を含む統一的積分公式を開発すること。
• これらの積分を一般化されたライツハイパージェオメトリック関数の形で表現すること。
• 通常のベッセル関数およびベッセル＝マイタランド関数の既知の結果を特殊ケースとして回復すること。
• 一般化されたパラメータを用いて、特殊関数の既存の積分表現を拡張すること。
• 数学的物理学および工学分野における特殊関数を含む問題に適用可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• Pochhammer記号および一般化されたガンマ関数を用いた一般化されたベッセル＝マイタランド関数 $ J_{v,q}^{eta, ho}(z) $ の級数定義を利用する。
• 得られた積分を一般化されたライツハイパージェオメトリック関数 $ {}_p\Psi_q $ を用いて表現する。
• Oberhettinger (1974) が提示した $ x^{\mu-1}(x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} $ を含む積分公式を基礎的恒等式として用いる。
• 与えられたパラメータ制約の下で級数の一様収束性を用いて、和と積分の順序を入れ替える。
• 性質 $ \Gamma(\lambda + n) = \Gamma(\lambda)(\lambda)_n $ を適用し、得られた級数を一般化されたライツハイパージェオメトリック関数の形に変換する。
• パラメータの置換を用いて、特殊ケースを既知のベッセル関数およびベッセル＝マイタランド関数に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたライツハイパージェオメトリック関数を用いて、一般化されたベッセル＝マイタランド関数の統一的積分公式をどのように構築できるか。
• RQ2 導出された積分表現の収束性と有効性を保証する条件は何か。
• RQ3 パラメータを特殊化した場合、結果が通常のベッセル関数の積分にどのように還元されるか。
• RQ4 一般化されたパラメータ $ \gamma, q, \delta $ は、古典的積分公式を拡張する上で果たす役割は何か。
• RQ5 このフレームワークを他の一般化された特殊関数の積分を導出するために拡張可能か。

主な発見

• 最初の主要結果は、積分 $ \int_0^\infty x^{\mu-1}(x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} J_{v,q}^{\delta,\gamma}\left(\frac{y}{x+a+\sqrt{x^2+2ax}}\right) dx $ を一般化されたライツハイパージェオメトリック関数 $ {}_3\Psi_3 $ として表現することを示している。
• 第二の主要結果は、$ J_{v,q}^{\delta,\gamma}\left(\frac{xy}{x+a+\sqrt{x^2+2ax}}\right) $ に対する類似の積分を導出し、分子にパラメータ $ (\gamma,q), (\lambda+1,1), (2\mu,2) $ を持つ $ {}_3\Psi_3 $ の表現を得ている。
• パラメータ $ q=0 $ および $ \gamma=1 $ を設定すると、標準的ベッセル＝マイタランド関数 $ J_v^\delta(z) $ の積分が $ {}_2\Psi_3 $ 関数として回復される。
• さらに $ \delta = \gamma = 1 $ と特殊化することで、古典的ベッセル関数 $ J_v(z) $ の積分表現が $ {}_2\Psi_3 $ を用いて表現される。
• 導出された公式は、古典的結果を一般化し、一般化されたハイパージェオメトリック関数を用いた単一のフレームワーク内で、さまざまな積分形を統一的に扱う。
• 収束性および正則性を保証するため、条件 $ \Re(\lambda) > \Re(\mu) > 0 $、$ \Re(v) > -1 $、および $ \Re(\gamma) \geq 0 $ が有効である。