[論文レビュー] Spanning Trees and Spanning Eulerian Subgraphs with Small Degrees. II

Morteza Hasanvand|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実数パラメータλを含む新しい次数関数条件を用いて、次数が有界であるスパニング木およびスパニングオイラー部分グラフの存在に十分な条件を確立する。この条件下で、次数が制御されたスパニング木が存在することを証明し、k-辺連結およびトゥーフネスの条件を満たすグラフへと結果を拡張し、ジャクソンとウォーマルドが提起した長年の予想を解決する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with $X\subseteq V(G)$ and with the spanning forest $F$. Let $\lambda\in [0,1]$ be a real number and let $\eta:X ightarrow (\lambda,\infty)$ be a real function. In this paper, we show that if for all $S\subseteq X$, $\omega(G\setminus S)\le\sum_{v\in S}\big(\eta(v)-2\big)+2-\lambda(e_G(S)+1)$, then $G$ has a spanning tree $T$ containing $F$ such that for each vertex $v\in X$, $d_T(v)\le \lceil\eta(v)-\lambda ceil+\max\{0,d_F(v)-1\}$, where $\omega(G\setminus S)$ denotes the number of components of $G\setminus S$ and $e_G(S)$ denotes the number of edges of $G$ with both ends in $S$. This is an improvement of several results and the condition is best possible. Next, we also investigate an extension for this result and deduce that every $k$-edge-connected graph $G$ has a spanning subgraph $H$ containing $m$ edge-disjoint spanning trees such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-2m)\big ceil+2m$, where $k\ge 2m$; also if $G$ contains $k$ edge-disjoint spanning trees, then $H$ can be found such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-m)\big ceil+m$, where $k\ge m$. Finally, we show that strongly $2$-tough graphs, including $(3+1/2)$-tough graphs of order at least three, have spanning Eulerian subgraphs whose degrees lie in the set $\{2,4\}$. In addition, we show that every $1$-tough graph has spanning closed walk meeting each vertex at most $2$ times and prove a long-standing conjecture due to Jackson and Wormald (1990).

研究の動機と目的

• 既存の次数が有界なスパニング木に関する結果を、実数パラメータλを含む柔軟な次数関数条件を導入することによって一般化すること。
• 次数が制御されたスパニング部分グラフの理論を、辺連結およびトゥーフネスの条件を満たすグラフへと拡張すること。
• ジャクソンとウォーマルド（1990年）が提起した、1-トゥーフネスグラフと閉路に関する長年の予想を解決すること。
• このような部分グラフの存在に最もタイトで最良の条件を提供し、以前の定理を改善すること。

提案手法

• 実数パラメータλ ∈ [0,1] と関数η: X → (λ, ∞) を導入し、スパニング木における次数を制御する。
• 頂点部分集合S ⊆ Xに対する構造的条件を用いる：ω(G∖S) ≤ ∑_{v∈S}(η(v)−2) + 2 − λ(e_G(S)+1)。これは、成分数と辺密度の関係を結ぶ。
• 帰納法と辺削除の議論を用いて、次数が有界な与えられた森林Fを含むスパニング木Tを構成する。
• 次数の上限を導出：v ∈ X に対して d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1}。
• 主結果をk-辺連結グラフに適用し、m本の辺素なスパニング木を含むスパニング部分グラフHを構成する。
• 2-トゥーフネスまたは(3+1/2)-トゥーフネスなどのトゥーフネス条件を用いて、すべての頂点次数が{2,4}に属するスパニングオイラー部分グラフの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフが、与えられた森林の次数が有界であるスパニング木を含むための条件は何か？
• RQ2 実数パラメータλと次数関数ηを用いて、このようなスパニング木の次数上限を最適化する方法は何か？
• RQ3 結果をk-辺連結グラフへと拡張し、複数の辺素なスパニング木と制御された次数を持つスパニング部分グラフを保証できるか？
• RQ4 強さ2-トゥーフネスのグラフ、特に(3+1/2)-トゥーフネスのグラフは、すべての頂点次数が{2,4}に属するスパニングオイラー部分グラフを常に持つか？
• RQ5 すべての1-トゥーフネスグラフは、各頂点を高々2回訪れるスパニング閉路を持つのか。ジャクソン–ウォーマルド予想を確認できるか？

主な発見

• 本稿では、与えられた森林Fを含むスパニング木Tの存在に最良の十分条件を確立し、すべてのv ∈ Xに対して d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1} が成り立つことを示した。
• k ≥ 2m である任意のk-辺連結グラフGに対して、m本の辺素なスパニング木を含むスパニング部分グラフHが存在し、d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−2m)⌉ + 2m が成り立つ。
• Gがk ≥ m本の辺素なスパニング木を含むならば、Hは d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−m)⌉ + m となるように構成可能である。
• 3+1/2-トゥーフネスのグラフ（順序が3以上）およびより一般に強さ2-トゥーフネスのグラフは、すべての頂点次数が{2,4}に属するスパニングオイラー部分グラフを持つ。
• すべての1-トゥーフネスグラフは、各頂点を高々2回訪れるスパニング閉路を持つ。これはジャクソン–ウォーマルド（1990年）の予想を確認する。
• 主たる次数制限付きスパニング木の条件はタイトであり、グラフ理論におけるいくつかの既存の結果を改善している。