[論文レビュー] Sparsity Measures for Spatially Decaying Systems

Nader Motee, Qiyu Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 2

ひとこと要約

本論文は、空間的減衰性を持つシステムに対して、空間的減衰行列の擬バナッフ代数を用いて、システム指向のスパarsity尺度を導入し、四乗誤差最適な状態フィードバック制御則が、これらの行列代数の逆閉性特性により、本質的にスパースかつ空間的に局在化していることを示している。このフレームワークは、分散システムにおけるスパarsityと局在性を定量化し、ランダムに生成された電力網で検証された。

ABSTRACT

We consider the omnipresent class of spatially decaying systems, where the sensing and controls is spatially distributed. This class of systems arises in various applications where there is a notion of spatial distance with respect to which couplings between the subsystems can be quantified using a class of coupling weight functions. We exploit spatial decay property of the dynamics of the underlying system in order to introduce system-oriented sparsity measures for spatially distributed systems. We develop a new mathematical framework, based on notions of quasi-Banach algebras of spatially decaying matrices, to relate spatial decay properties of spatially decaying systems to sparsity features of their underlying information structures. Moreover, we show that the inverse-closedness property of matrix algebras plays a central role in exploiting various structural properties of spatially decaying systems. We show that the quadratically optimal state feedback controllers for spatially decaying systems are sparse and spatially localized in the sense that they have near-optimal sparse information structures. Finally, our results are applied to quantify sparsity and spatial localization features of a class of randomly generated power networks. © 2014 American Automatic Control Council.

研究の動機と目的

• 空間的減衰結合を有する空間分散システムにおけるスパarsityおよび空間的局在性を定量化するための数学的フレームワークを構築すること。
• システムダイナミクスの空間的減衰性を活用し、行列代数構造に基づくシステム指向のスパarsity尺度を定義すること。
• 空間的減衰性を持つシステムにおいて、行列代数の逆閉性が構造的性質を保持する役割を果たすことを確立すること。
• このようなシステムの四乗誤差最適な状態フィードバック制御則が、本質的にスパースかつ空間的に局在化していることを示すこと。
• フレームワークをランダムに生成された電力網のクラスに適用し、スパarsityおよび局在性を定量化すること。

提案手法

• 空間的距離に基づくサブシステム間相互作用を定量化する結合重み関数を用いて、空間的減衰性を持つシステムを形式化する。
• システムダイナミクスおよび情報構造をモデル化するため、空間的減衰行列のための擬バナッフ代数フレームワークを構築する。
• 行列代数の逆閉性特性を活用し、システム表現における構造的安定性およびスパarsityの保持を保証する。
• 四乗誤差最適な状態フィードバック制御則が、システムの減衰構造に起因するスパarsityおよび空間的局在性をどのように継承するかの条件を導出する。
• 理論的フレームワークをランダムに生成された電力網のクラスに適用し、スパarsityおよび局在性指標を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的分散システムにおけるスパarsityは、システム結合の空間的減衰性を用いてどのように形式的に測定できるか？
• RQ2 行列代数の逆閉性が、システム表現におけるスパarsityおよび局在性の保持に果たす役割は何か？
• RQ3 空間的減衰性を持つシステムの四乗誤差最適な状態フィードバック制御則は、本質的にスパースかつ空間的に局在化しているとされるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、電力網のような実世界のネットワーク系において、スパarsityおよび空間的局在性をどの程度定量化できるか？
• RQ5 空間的距離に基づく結合重み関数は、システムの情報構造および制御則のスパarsity構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、擬バナッフ代数内の空間的減衰行列の代数的構造を活用することで、システム指向のスパarsity尺度を可能にした。
• 行列代数の逆閉性特性により、スパarsityや局在性といった構造的特徴が、行列の逆演算およびシステム演算においても保持されることが保証された。
• 空間的減衰性を持つシステムの四乗誤差最適な状態フィードバック制御則が、スパースかつ空間的に局在化しており、近似的に最適な情報構造を持つことが示された。
• フレームワークは、ランダムに生成された電力網のクラスにおいて、スパarsityおよび空間的局在性を成功裏に定量化し、実用的応用の有効性を示した。
• 空間的距離に基づく結合重み関数は、システムの情報構造の減衰パターンを直接決定し、したがってスパarsity特性を規定する。