[論文レビュー] Spatial Populations with seed-bank: renormalisation on the hierarchical group

Andreas Greven, Frank den Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、階層的群 ΩN 上の空間的集団モデルを、種袋（seed-bank）を伴って研究する。個体は階層的カーネルを介して集団間を移動し、色に依存する再活性化率で不活性状態に入る。マルチスケールの再正規化を用いて、大規模な N の極限において、ブロック平均動的は普遍的にフィッシャー＝ワイト・拡散へ収束することを示し、種袋の存在により、種袋なしのケースに比べてクラスタの成長が遅くなることを明らかにする。

ABSTRACT

We consider a system of interacting diffusions labeled by a geographic space that is given by the hierarchical group $Ω_N$ of order $N\in\mathbb{N}$. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. The migration kernel has a hierarchical structure: individuals hop between colonies at a rate that depends on the hierarchical distance between the colonies. The seed-bank has a layered structure: when individuals become dormant they acquire a colour that determines the rate at which they become active again. The latter allows us to model seed-banks whose wake-up times have a fat tail. We analyse a system of coupled stochastic differential equations that describes the population in the large-colony-size limit. For fixed $N\in\mathbb{N}$, the system exhibits a dichotomy between coexistence and clustering. We identify the range of parameters controlling the migration and the seed-bank for which clustering prevails. We carry out a multi-scale renormalisation analysis in the hierarchical mean-field limit $N o\infty$. We show that block averages on hierarchical space-time scale $k \in \mathbb{N}$ perform a diffusion with a renormalised diffusion function that depends on $k$. In the clustering regime, after an appropriate scaling with $k$, this diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion function as $k o\infty$, irrespective of the diffusion function controlling the resampling. For several subclasses of parameters we identify the speed at which the scaled renormalised diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion as $k o\infty$. We show that the seed-bank reduces the speed compared to the model without seed-bank.

研究の動機と目的

• 1. 階層的群 ΩN 上のレイヤード種袋を有する空間的集団モデルにおけるクラスタリング領域を分析すること。
• 2. システムが単一型平衡（クラスタリング）を示すか、多様型平衡（共存）を示すかを特定する条件を同定すること。
• 3. N → ∞ の階層的平均場極限において、マルチスケール再正規化解析を実施すること。
• 4. スケーリング極限の普遍性を確立し、リサンプリング拡散関数に依存せず、常にフィッシャー＝ワイト・拡散へ収束することを示すこと。
• 5. 種袋が単一型クラスタの成長速度を、種袋なしのモデルに比べてどの程度遅くするかを定量すること。

提案手法

• 1. 群 ΩN 上の階層的空間における集団密度の確率的微分方程式の結合系としてシステムをモデル化する。
• 2. 集団間の階層的距離に依存する階層的移動カーネルを用いる。
• 3. 残存個体に色を割り当て、再活性化速度を色に依存させるレイヤード種袋を実装し、重い尾を有する目覚め時間の実現を可能にする。
• 4. 有限系スキームと双対性を用いて、適切な定義と平衡解析を証明する。
• 5. 階層的時空スケール k ∈ ℕ におけるブロック平均を考察することで、マルチスケール再正規化解析を実施する。
• 6. スケール k における再正規化された拡散関数が k → ∞ のときフィッシャー＝ワイト・拡散へ収束することを示し、普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1. パラメータのどの範囲で、システムは共存（多様型平衡）ではなくクラスタリング（単一型平衡）を示すか？
• RQ2 2. レイヤード種袋構造は、大規模なダイナミクスおよび空間的クラスタの出現にどのように影響を与えるか？
• RQ3 3. 階層的平均場極限 N → ∞ におけるブロック平均過程のスケーリング極限は何か？
• RQ4 4. リサンプリング拡散関数に依存せず、システムが大規模極限で普遍的にフィッシャー＝ワイト・拡散へ収束するか？
• RQ5 5. 種袋の存在は、空間的・時間的次元における単一型クラスタの成長速度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 1. システムは共存とクラスタリングの二分法的性質を示し、移動および種袋構造の特定のパラメータ範囲ではクラスタリングが優勢である。
• 2. [GHO20] で提示された必要十分クラスタリング基準は、離散位相を備えた可換可換群に対して普遍的に適用可能である。
• 3. 大規模 N の極限において、階層的スケール k における再正規化された拡散関数は k → ∞ のときフィッシャー＝ワイト・拡散へ収束し、完全な普遍性が示された。
• 4. フィッシャー＝ワイト・拡散への収束速度は、移動および種袋のパラメータに依存し、この速度が単一型クラスタの成長速度を決定する。
• 5. 種袋の存在により、移動と不活性状態のダイナミクスの繊細な相互作用の結果、クラスタ成長速度が種袋なしのモデルに比べて遅くなる。
• 6. 複数のパラメータサブクラスに対して、再正規化された拡散関数がフィッシャー＝ワイト形式へ収束する正確な速度を同定し、種袋による遅延効果を定量的に特定した。