[論文レビュー] Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge joins of graphs

Xiaogang Liu, Zuhe Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、一方のグラフが正則である場合、2つの新しいグラフ結合操作—分割頂点結合と分割辺結合—の隣接行列、ラプラシアン行列、および非負ラプラシアン行列のスペクトルに対する明示的公式を導出する。これにより、無限個の同スペクトルグラフの族の構築が可能となり、これらの結合グラフの全域木の数およびキルホッフ指数の正確な表現が得られる。

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The subdivision-vertex join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\dot{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $V(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$. The subdivision-edge join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\underline{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $I(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$, in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, these results enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. We also give the number of the spanning trees and the Kirchhoff index of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$.

研究の動機と目的

• 分割頂点結合 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ および分割辺結合 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ の隣接行列、ラプラシアン行列、および非負ラプラシアン行列のスペクトルを同定すること。
• $ G_1 $ が正則であると仮定して、元のグラフ $ G_1 $ および $ G_2 $ のスペクトルに基づくスペクトル公式を確立すること。
• スペクトル結果を応用して、無限個の同スペクトルグラフの族を構築すること。
• 結合グラフの全域木の数およびキルホッフ指数の正確な式を導出すること。

提案手法

• 各辺に頂点を挿入することで、グラフ $ G $ の分割グラフ $ \mathcal{S}(G) $ を定義する。
• $ \mathcal{S}(G_1) $ を基盤として用い、 $ V(G_1) $ のすべての頂点を $ V(G_2) $ のすべての頂点に接続することで、分割頂点結合 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ を定義する。
• $ \mathcal{S}(G_1) $ に挿入された頂点（すなわち $ I(G_1) $）のすべてを $ V(G_2) $ のすべての頂点に接続することで、分割辺結合 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ を定義する。
• $ G_1 $ が正則であると仮定し、特に固有値の入れ子と行列分解の技法を用いたスペクトルグラフ理論的手法を適用する。
• 正則グラフおよび結合操作の既知のスペクトル的性質を活用し、新しいグラフ結合操作のスペクトルに対する閉形式の式を導出する。
• 得られたスペクトルを用いて、代数的グラフ理論における行列式に基づく公式を応用し、全域木の数およびキルホッフ指数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ G_1 $ が正則である場合、分割頂点結合 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ の隣接スペクトルは、 $ G_1 $ および $ G_2 $ のスペクトルをどのように表現できるか？
• RQ2 $ G_1 $ が正則で $ G_2 $ が任意のグラフである場合、分割辺結合 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ のラプラシアンおよび非負ラプラシアンスペクトルは何か？
• RQ3 導出されたスペクトル公式を用いて、無限個の非同型の同スペクトルグラフのペアを生成できるか？
• RQ4 これらの結合グラフの全域木の数およびキルホッフ指数に対して、どのような正確な式が得られるか？
• RQ5 $ G_1 $ および $ G_2 $ のスペクトル的性質は、結果として得られる結合グラフのスペクトル的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ G_1 $ が正則である限り、 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ の隣接スペクトルは、 $ G_1 $ および $ G_2 $ の固有値によって完全に決定される。
• $ G_1 $ が正則であると仮定すると、 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ のラプラシアンおよび非負ラプラシアンスペクトルは、 $ G_1 $ および $ G_2 $ のスペクトルに基づいて表現される。
• 導出されたスペクトル公式を用いて、非同型の同スペクトルグラフの無限個のペアを構築した。
• $ G_1 $ が正則である場合に限り、 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ の全域木の数に対する正確な公式が導出された。
• ラプラシアン行列のスペクトル分解を用いて、 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ のキルホッフ指数に対する正確な式が得られた。
• 結果は、隣接行列、ラプラシアン行列、非負ラプラシアン行列の3つすべてに拡張され、2つのグラフ結合操作の包括的なスペクトル解析が提供された。