[論文レビュー] Spectrum Preserving Short Cycle Removal on Regular Graphs

Pedro Paredes|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Graph theory and applications参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、スパクトラムを保存する短いサイクル除去手法を提示しており、girth を向上させながらスパクトラムの境界を維持する。自転車フリー性（bicycle-freeness）と新規の 2-リフトに基づくデランドマイゼーションを活用することで、girth Ω(√log n) で、かつ Ramanujan 境界 2√(d−1) に ϵ 以内の固有値を有する明示的・決定的 d-正則グラフの構築が可能となり、poly(n) 時間で高確率に ϵ-近似 Ramanujan 展開が達成される。

ABSTRACT

We describe a new method to remove short cycles on regular graphs while maintaining spectral bounds (the nontrivial eigenvalues of the adjacency matrix), as long as the graphs have certain combinatorial properties. These combinatorial properties are related to the number and distance between short cycles and are known to happen with high probability in uniformly random regular graphs. Using this method we can show two results involving high girth spectral expander graphs. First, we show that given d ⩾ 3 and n, there exists an explicit distribution of d-regular Θ(n)-vertex graphs where with high probability its samples have girth Ω(log_{d-1} n) and are ε-near-Ramanujan; i.e., its eigenvalues are bounded in magnitude by 2√{d-1} + ε (excluding the single trivial eigenvalue of d). Then, for every constant d ⩾ 3 and ε > 0, we give a deterministic poly(n)-time algorithm that outputs a d-regular graph on Θ(n)-vertices that is ε-near-Ramanujan and has girth Ω(√{log n}), based on the work of [Mohanty et al., 2020].

研究の動機と目的

• 高girth かつ近似的に最適なスペクトル拡張性を有する明示的・決定的 d-正則グラフの構築を目的とする。
• 正則グラフにおける短いサイクル除去の過程でスペクトル境界（固有値の集中）を維持することを目的とする。
• [MOP19] のデランドマイゼーション枠組みを拡張し、高girth と ϵ-近似 Ramanujan スペクトル特性の両方を達成することを目的とする。
• 組合せ的でスペクトルを保存するサイクル除去プロセスを通じて、高girth と近似 Ramanujan 展開を同時に達成できることを確立することを目的とする。
• girth Ω(√log n) で λ(G) ≤ 2√(d−1) + ϵ を満たす d-正則グラフを生成する決定的 poly(n)-時間アルゴリズムの提供を目的とする。

提案手法

• 短いサイクルを除去しつつスペクトル境界を保存する新しい 2-リフトに基づく操作 'fix' を導入する。
• 半径 r における '自転車フリー性'（bicycle-freeness）の概念を用い、互いに交差しない球体の議論により短いサイクルの数を制限する。
• サイクル除去におけるスペクトル保存を保証するため、定理 1.8 の一般化版を適用する。
• 半径依存のサイクル数の上限を用いる：|Cycr(G)| ≤ n/(d−1)^r で、サイクル代表元の周囲における r-球体の互いに交差しない性質から導出される。
• 初期グラフ生成をデランドマイズするため、半径 (1/5)logd−1 n0 における自転車フリー性を保証するシードを選択する。
• [MOP19] の最初のステップを変更して適用し、望ましい girth とスペクトル特性を持つスターター・グラフを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則グラフにおいて、スペクトル拡張性を劣化させることなく短いサイクルを除去することは可能か？
• RQ2 決定的 poly(n)-時間アルゴリズムにより、高girth かつ ϵ-近似 Ramanujan スペクトル特性を有する d-正則グラフを生成することは可能か？
• RQ3 特定の半径における自転車フリー性が、サイクル除去によるスペクトル境界の維持を保証するか？
• RQ4 2-リフトを用いて、スペクトル集中を維持したままグラフの girth を体系的に向上させることは可能か？
• RQ5 ランダム d-正則グラフの構築法をデランドマイズし、高girth と近似的に最適な拡張性を同時に達成することは可能か？

主な発見

• 本手法は、Θ(n) 頂点を有する d-正則グラフを、girth Ω(√log n) かつ λ(G) ≤ 2√(d−1) + ϵ として決定的 poly(n) 時間で構築可能である。
• fix 操作はスペクトル境界を保存する：λ(fix(G)) ≤ Λ + on(1) が、λ(G) = Λ を満たすグラフに適用された場合に成り立つ。
• 半径 α logd−1 n において自転車フリーであるグラフは、fix を適用することで girth (α/3) logd−1 n を有するグラフに変換可能である。
• 半径 (1/5)logd−1 n0 において自転車フリーなグラフを生成するシードの割合は 1 − on(1) であるため、効率的なデランドマイズが可能である。
• 構成法は高確率で ϵ-近似 Ramanujan 展開を達成し、一様にランダムな d-正則グラフと同等のスペクトル性能を示す。
• 本手法は [MOP19] のデランドマイゼーション枠組みを一般化し、girth 制御を組み込むことで、明示的・高girth・近似的に最適な拡張子の構築を可能にする。