[論文レビュー] Spin Liquid Ground State of the Spin-1/2 Square $J_1$-$J_2$ Heisenberg Model

Hong‐Chen Jiang, Hong Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2011

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 23

ひとこと要約

本研究では、長大なシリンダー上で高精度な密度行列縮約法（DMRG）シミュレーションを用いて、スピン-1/2正方格子 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型におけるトポロジカルな量子スピン液体（QSL）基底状態の強力な数値的証拠を提示する。$0.41 \leq J_2/J_1 \leq 0.62$ の範囲で見いだされたQSL相は、磁気秩序およびボンド固体秩序が消えており、スピンギャップが非ゼロで、トポロジカルな量子もつれエントロピー $\gamma = 0.70 \pm 0.02$ を示しており、$Z_2$ スピン液体と整合的である。

ABSTRACT

We perform highly accurate density matrix renormalization group (DMRG) simulations to investigate the ground state properties of the spin-1/2 antiferromagnetic square lattice Heisenberg $J_1$-$J_2$ model. Based on studies of numerous long cylinders with circumferences of up to 14 lattice spacings, we obtain strong evidence for a topological quantum spin liquid state in the region $0.41\leq J_2/J_1\leq 0.62$, separating conventional Néel and striped antiferromagnetic states for smaller and larger $J_2/J_1$, respectively. The quantum spin liquid is characterized numerically by the absence of magnetic or valence bond solid order, and non-zero singlet and triplet energy gaps. Furthermore, we positively identify its topological nature by measuring a non-zero topological entanglement entropy $γ=0.70\pm 0.02$, extremely close to $γ=\ln(2) \approx 0.69$ (expected for a $Z_2$ quantum spin liquid) and a non-trivial finite size dimerization effect depending upon the parity of the circumference of the cylinder. We also point out that a valence bond solid, and indeed any discrete symmetry breaking state, would be expected to show a constant correction to the entanglement entropy of {\sl opposite} sign to the topological entanglement entropy.

研究の動機と目的

• 正方格子上のフラストレーションを受けるスピン-1/2 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型における非磁性基底状態の性質を解明すること。
• 中間相がトポロジカル秩序を示すか、対称性破れボンド固体（VBS）秩序を示すかを特定すること。
• トポロジカルもつれエントロピー（TEE）を介して長距離もつれの直接的数値的証拠を提供すること。
• 有限サイズスケーリングおよび境界由来のデュマーライゼーション効果を用いて、トポロジカルQSLと従来のVBS状態を区別すること。

提案手法

• 幅が $L_y = 14$ に達するまでの長大な円筒格子上での高精度な密度行列縮約法（DMRG）シミュレーション。
• ギャップを持つ基底状態を調べるためのスピンsingletおよびスピンtripletエネルギーギャップの計算。
• フォン・ノイマンもつれエントロピーの面積則分解を用いて、トポロジカルもつれエントロピー $\gamma$ の測定。
• 円筒の周囲の長さの偶奇に依存する有限サイズのデュマー化効果の分析を通じて、トポロジカル秩序の検出。
• 境界由来のデュマー秩序がボトムへとどのように減衰するかを検討し、長距離VBS秩序の否定。
• 特定のトポロジカルセクターに偏らないように、DMRGにおける最小もつれ状態の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型の中間相は、トポロジカル秩序を示すか、ボンド固体（VBS）秩序を示すか？
• RQ2 観測された非磁性相は、長距離もつれを持つギャップのある量子スピン液体であるか？
• RQ3 トポロジカルもつれエントロピー $\gamma$ の値は何か？ これは $Z_2$ スピン液体に予測される $\ln 2 \approx 0.69$ と一致するか？
• RQ4 系は境界由来のデュマー化に対してどのように応答するか？ そして、その秩序はボトムへと指数関数的に減衰するか？
• RQ5 熱力学的極限においてトポロジカル秩序が存在する一方で、長距離VBS秩序が存在しないことは整合的か？

主な発見

• $0.41 \leq J_2/J_1 \leq 0.62$ の領域に、トポロジカルな量子スピン液体（QSL）相が特定された。この相は、ネール秩序およびストライプ型反強磁性秩序の間を分かつ。
• 測定されたトポロジカルもつれエントロピー $\gamma = 0.70 \pm 0.02$ は、$\ln 2 \approx 0.69$ に非常に近く、$Z_2$ スピン液体と整合的である。
• 磁気秩序およびボンド固体（VBS）秩序は検出されず、スピンのスタグマチック磁化およびデュマー秩序は熱力学的極限においてゼロに収束する。
• 境界由来の垂直デュマー秩序は、$L_y \to \infty$ の極限で、相関長 $\xi_v \sim 4$ で指数関数的にボトムへと減衰し、長距離VBS秩序の否定を示す。
• TEEとは逆符号の定数補正がもつれエントロピーに存在しないことからも、VBS秩序の否定がさらに強化される。
• スピンsingletギャップおよびスピンtripletギャップが非ゼロで、ギャップを持つ基底状態にトポロジカル秩序が存在することを確認する。