[論文レビュー] Spinors in Higher Dimensional and Locally Anisotropic Spaces

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 1996

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、非線形かつ特徴的な（d-）接続および計量構造を備えた局所的に異方性（la）空間—一般化されたベクトルバンドル—におけるスピンターの厳密な微分幾何学を、ペネローズの抽象的添字形式を拡張することで展開する。d-スピンター接続、曲率、ねじれを定式化し、d-テンソル形式との関係を確立し、一般のla空間上での重力場および物質場の動的方程式を導出することで、非リーマン的背景における一貫性のある場の理論を可能にする。量子重力および高次元物理学への応用が期待される。

ABSTRACT

The theory of spinors is developed for locally anisotropic (la) spaces, in brief la-spaces, which in general are modeled as vector bundles provided with nonlinear and distinguished connections and metric structures (such la-spaces contain as particular cases the Lagrange, Finsler and, for trivial nonlinear connections, Kaluza-Klein spaces). The la-spinor differential geometry is constructed. The distinguished spinor connections are studied and compared with similar ones on la-spaces. We derive the la-spinor expressions of curvatures and torsions and analyze the conditions when the distinguished torsion and nonmetricity tensors can be generated from distinguished spinor connections. The dynamical equations for gravitational and matter field la-interactions are formulated.

研究の動機と目的

• 局所的に異方性（la）空間—フィンスラー、ラグランジュ、カーラッツ＝クライン空間を一般化する—におけるスピンター場の一貫性のある幾何的枠組みを確立すること。
• 非線形およびd-接続に適合する特徴的な（d-）スピンター構造を導入することで、la空間上におけるスピンターの定義という長年の問題を解決すること。
• d-スピンター接続、曲率、ねじれを定式化し、d-テンソル形式と関係づけることで、la空間上における一貫性のある場の理論を構築すること。
• d-共変微積分を用いて、一般のla空間上における重力場および物質場（スカラー、プローカ、ディラック、ゲージ）の共変な動的方程式を導出すること。
• 局所的に異方性な場の相互作用の幾何的基盤を提供することで、量子重力、超弦理論、宇宙論における物理的応用を可能にすること。

提案手法

• 非線形（N-）接続およびd-計量を備えたベクトルバンドル上で、d-テンソルおよびd-スピンターの水平成分と垂直成分への分解を用いて、ペネローズとリンデラーの抽象的添字形式をla空間に拡張する。
• 非線形（N-）接続およびd-計量を備えたベクトルバンドル上に、d-接続および計量構造と整合する特徴的な（d-）スピンター接続を構成する。
• d-スピンター曲率およびねじれの式を導出し、非計量性およびねじれがd-スピンター接続からどのように生じるかの条件を分析する。
• 非ホロノミック（非積分可能）なlaフレームに適応したd-共変変分法を用いて、la空間上における物質場およびゲージ場の場の方程式を導出する。
• dフレーム形式論において、標準的な変分手続きを用いてエネルギー運動量d-テンソルおよびd-電流を定式化する。
• 共形不変性およびほぼ自己平行写像を、特定のクラスのla空間におけるd-スピンター微積分の拡張として検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形および特徴的な接続を備えた局所的に異方性空間—フィンスラーおよびカーラッツ＝クライン幾何学を一般化する—において、どのようにしてスピンター構造を厳密に定義できるか？
• RQ2 特徴的なスピンター接続の幾何的性質は何か？ そして、それらはd-テンソル曲率、ねじれ、非計量性とどのように関係するか？
• RQ3 la空間において、d-ねじれおよび非計量性テンソルがd-スピンター接続からどのように生成されるかの条件は何か？
• RQ4 d-共変形式を用いて、一般のla空間上における重力場および物質場の一致する動的方程式をどのように導出できるか？
• RQ5 d-スピンター微積分は、量子重力および超弦理論における高次元的かつ局所的に異方性な背景上での物理理論の構築に、どのように寄与するか？

主な発見

• 非リーマン的背景における高次元的空間に一般化されたペネローズの2スピンター微積分を拡張し、局所的に異方性空間における一貫性のあるd-スピンター微分幾何学が構築された。
• 特徴的なスピンター接続が定義され、特定の幾何的条件下でd-ねじれおよび非計量性テンソルを生成することが示され、これらの構造の幾何的起源が明らかになった。
• d-スピンター形式は、水平部分空間および垂直部分空間の次元において8周期性を示し、標準的なクリフォード代数の周期性と類似している。
• d-共変変分法を用いてスカラー、プローカ、ディラック、ゲージ場の動的場の方程式が導出され、エネルギー運動量d-テンソルおよびd-電流はdフレーム形式論で表現された。
• この形式は、共形不変性を満たすのは特定のクラスのla空間に限られ、より広範な適用性を得るにはほぼ自己平行写像への拡張が必要である。
• この形式は、一般のla空間上における物理的モデルの構築の幾何的基盤を提供し、量子重力、高次元場理論、超弦モデルへの応用が期待される。