[論文レビュー] Split injectivity of A-theoretic assembly maps

Ulrich Bunke, Daniel Kasprowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非連結的A理論関手を生体的粗い空間に適用することで、有限および擬的に巡回部分群の分類空間が有限次元である群に対して、A理論的アセンブリーマップのスプリット単射性を確立する。得られるG--equivariantな粗いホモロジー理論が連続性、強い加法性、移行写像を満たすことを証明し、先行研究におけるCP関手フレームワークを用いてスプリット単射性の結果を得る。

ABSTRACT

We construct an equivariant coarse homology theory arising from the algebraic $K$-theory of spherical group rings and use this theory to derive split injectivity results for associated assembly maps. On the way, we prove that the fundamental structural theorems for Waldhausen's algebraic $K$-theory functor carry over to its nonconnective counterpart defined by Blumberg--Gepner--Tabuada.

研究の動機と目的

• 有限および擬的に巡回部分群の分類空間が有限次元である群に対して、A理論的アセンブリーマップのスプリット単射性を確立すること。
• ブルンバーグ＝ゲプナー＝タバタの非連結的K理論関手を用いて、粗いホモトピー理論の枠組みを非連結的A理論へ拡張すること。
• 得られる粗いAホモロジー理論が連続性、強い加法性、および移行写像を満たすことを証明し、CP関手の道具立ての適用を可能にすること。
• K理論およびL理論的アセンブリーマップに関する先行結果を、特に有限分解次元性または相対的双曲性を有する群に対してA理論の文脈へ一般化すること。
• Gが有限であるとき、G-主バンドル上のA理論関手がスペクトルMackey関手に拡張されることを示し、新たな手法により既知の結果を再得すること。

提案手法

• ブルンバーグ＝ゲプナー＝タバタの非連結的K理論関手を用いて、球面的群環の非連結的A理論からG--equivariantな粗いホモロジー理論を構成する。
• ワルドハウゼンK理論における基本定理（加法性、ファイブレーション、近似、コfinality）が非連結的設定へ拡張されることを証明する。
• ウルマン＝ウィンゲスの制御された再帰的空間を生体的粗い空間の枠組みへ翻訳する。
• 粗いAホモロジーが連続的で、強く加法的かつ移行写像を備えたG--equivariantな粗いホモロジー理論であることを確立する。
• [BEKWb]におけるCP関手フレームワークを適用するため、主G-バンドル上のA理論関手が遺伝的CP関手であることを示す。
• 推移性原理および相対的アセンブリーマップの分解を用いて、有限、擬的に巡回、およびFDC部分群に関する仮定の下でスプリット単射性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群の族に対するA理論的アセンブリーマップが、どのような群論的条件下でスプリット単射となるか？
• RQ2 ブルンバーグ＝ゲプナー＝タバタが定義する非連結的設定において、ワルドハウゼンK理論の構造的定理はどのように拡張されるか？
• RQ3 移行写像と強い加法性を備えた、良好に振る舞うG--equivariantな粗いホモロジー理論としての粗いAホモロジーを構成できるか？
• RQ4 有限部分群から擬的に巡回部分群への相対的アセンブリーマップのスプリット単射性を保証する条件は何か？
• RQ5 群が部分群H_iに関して相対的双曲的であり、各H_iがFDCに属するか、または擬的に巡回族に対するA理論的アセンブリーマップがスプリット単射である場合、全体的なA理論的アセンブリーマップにどのような影響を与えるか？

主な発見

• Gが有限生成であり、EFinGの有限次元モデルを有し、かつ（可換環上の線形群の部分群であるか、または擬的に連結なリー群の部分群である）ならば、有限部分群の族に対するA理論的アセンブリーマップはスプリット単射である。
• 同じ仮定の下で、有限から擬的に巡回部分群への相対的A理論的アセンブリーマップもスプリット単射である。
• GがEFinGの有限次元モデルを有するならば、有限からFDC部分群への相対的A理論的アセンブリーマップはスプリット単射である。
• Gが部分群H_iに関して相対的双曲的であり、各H_iがFDCに属するか、または擬的に巡回族に対するA理論的アセンブリーマップがスプリット単射であるならば、有限族に対するA理論的アセンブリーマップはスプリット単射である。
• Gが有限であるとき、Or(G)-スペクトルA_PはスペクトルMackey関手に拡張され、新たな枠組みにより既知の結果が再得される。
• 構成された粗いAホモロジー理論は連続的で、強く加法的であり、移行写像を備えており、したがって遺伝的CP関手である。