[論文レビュー] Splitting lemmas for the Finsler energy functional on the space of $H^1$-curves

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン幾学からフラット幾学へと一般化された、$H^1$-曲線のヒルバート多様体上のフィン슬能量関数への一般化されたモースの補題（分割補題）を確立する。Gromoll-Meyerの結果をリーマン幾学からフラット幾学へと拡張する。エネルギー関数の臨界軌道における臨界群の構造が、有限次元的還元のもとで保存されることを証明し、Grove-Tanakaによる無限個の等長変換不変閉じた測地線の存在結果がフラット多様体へと拡張可能であることを可能にする。

ABSTRACT

We establish the splitting lemmas (or generalized Morse lemmas) for the energy functionals of Finsler metrics on the natural Hilbert manifolds of $H^1$-curves around a critical point or a critical $\R^1$ orbit of a Finsler isometry invariant closed geodesic. They are the desired generalization on Finsler manifolds of the corresponding Gromoll-Meyer's splitting lemmas on Riemannian manifolds (\cite{GM1, GM2}). As an application we extend to Finsler manifolds a result by Grove and Tanaka \cite{GroTa78, Tan82} about the existence of infinitely many, geometrically distinct, isometry invariant closed geodesics on a closed Riemannian manifold.

研究の動機と目的

• F-測地線のエネルギー関数について、リーマン幾学からフラット幾学へとGromoll-Meyerの分割補題を一般化すること。
• $H^1$-曲線上のフィンスラエネルギー関数の$C^2$-滑らかさの欠如を克服するため、有限次元近似を用いない無限次元的手法を開発すること。
• 閉じた測地線の臨界軌道における臨界群の構造が、有限対称性への還元のもとで保存されることを証明し、閉じた測地線の存在結果の拡張を可能にすること。
• エネルギー関数とその対称的還元の間の臨界群の同型を確立し、対称的設定におけるベッチ数の有界性を保証すること。
• リーマン多様体におけるGroveとTanakaによる無限個の幾的に異なる等長変換不変閉じた測地線の存在結果を、フラット多様体へと拡張すること。

提案手法

• 境界条件が閉じた部分多様体 $N \subset M \times M$ に属する $H^1$-曲線のヒルバート多様体 $\Lambda_N(M)$ 上にエネルギー関数 $\mathcal{L}(\gamma) = \int_0^1 F^2(\gamma(t), \dot\gamma(t))\,dt$ を構成する。
• 有限次元近似やPalaisの結果を避けるために、無限次元的手法を用いてエネルギー関数の臨界点および臨界軌道を分析する。
• $H^1$-位相と、内積 $\langle \xi, \eta \rangle_1 = \int_0^1 \langle \xi, \eta \rangle dt + \int_0^1 \langle \nabla^g_{\dot\gamma} \xi, \nabla^g_{\dot\gamma} \eta \rangle dt$ を持つ $W^{1,2}(I,M)$ 上のリーマン＝ヒルベルト構造を用いる。
• 臨界点 $\gamma$ におけるヘッセ型 $H_\gamma(\mathcal{L})$ を分析し、核とその複素化に注目して、臨界群の同型を研究する。
• $\mathbb{Z}_m$-対称性による群作用を用いて対称的還元 $^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}$ を導入し、同型 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$ を証明する。
• $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$ を満たす分解 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$ を用いて、臨界群の集合が有限であることを示し、ベッチ数の有界性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromoll-Meyerの分割補題は、エネルギー関数が$C^2$-滑らかさを欠くフラット多様体へと一般化可能か？
• RQ2 有限次元近似を用いずに、対称的還元のもとでフィンスラエネルギー関数の臨界群構造がどのように保存されるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}_m$-対称性下での、全エネルギー関数とその対称的還元の臨界群の関係は何か？
• RQ4 対称的還元における臨界群の次元の有界性は、無限個の幾的に異なる閉じた測地線の存在を示唆するか？
• RQ5 GroveとTanakaによるリーマン多様体における無限個の等長変換不変閉じた測地線の存在結果は、フラット多様体へと拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、$H^1$-曲線上のフィンスラエネルギー関数に対して分割補題を確立し、Gromoll-Meyerの結果をフラット幾学へと一般化する。
• $m \geq \mathfrak{m}_0$ に対して $\mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$ が成り立つことを証明し、全関数と還元関数の臨界群の同型を示す。
• $\{ \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \mid m \geq \mathfrak{m}_0 \}$ は有限集合であり、臨界群の次元が一様に有界であることを示唆する。
• 分解 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$ で $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$ を満たすことで、すべての $k \geq 0$, $m \geq 0$ に対して $\dim \mathscr{H}^0_k(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$ の有界性が確立される。
• スペクトル分解と核の固定点解析を用いて、臨界群の同型 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$ が証明される。
• この結果により、GroveとTanakaの定理の拡張が可能となる：等長変換が閉じた測地線軌道をもつ閉じたフラット多様体は、無限個の幾的に異なる等長変換不変閉じた測地線をもつ。