[論文レビュー] Square-tiled surfaces and rigid curves on moduli spaces

Dawei Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、正方形タイル化された曲面から得られるテイヒミュラー曲線を用いて、偶数 $n$ に対して、安定 $n$ 点付き有理曲線のモジュライ空間上に無限個の剛性曲線が存在することを確立する。これらの曲線は移動曲線の錐の中で同じ極値線を張り、ザリスキ・DNAであることが示されるとともに、テイヒミュラー曲線のスロープとホッジ bundle のリャプノフ指数の和が互いに決定し合うことが明らかになり、曲線のモジュライ空間における有効的除集合の理解が深まる。

ABSTRACT

This work is motivated by two central questions in the birational geometry of moduli spaces of curves -- Fulton's conjecture and the effective cone of $\bar M_g$. We study the algebro-geometric aspect of Teichmuller curves parameterizing square-tiled surfaces with two applications: (a) there exist infinitely many rigid curves on the moduli space of hyperelliptic curves, they span the same extremal ray of the cone of moving curves and their union is Zariski dense, hence they yield infinitely many rigid curves with the same properties on the moduli space of stable n-pointed rational curves for even n; (b) the limit of slopes of Teichmuller curves and the sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle determine each other, by which we can have a better understanding for the cone of effective divisors on the moduli space of curves.

研究の動機と目的

• 正方形タイル化された曲面から得られるテイヒミュラー曲線を用いて、安定点付き有理曲線および genus $g$ の曲線のモジュライ空間の双有理幾何を調査すること。
• 偶数 $n$ に対して、$\overline{M}_{0,n}$ 上に無限個の剛性曲線が存在し、それらが移動曲線の錐の中で同じ極値線を張ることを証明すること。
• テイヒミュラー曲線のスロープとホッジ bundle のリャプノフ指数の和の間の双対性を確立すること。
• 正方形タイル化された曲面の幾何とこの双対性を用いて、$\overline{M}_g$ 上の有効的除集合の構造を理解すること。

提案手法

• 正方形タイル化された曲面を用いて、楕円曲線への次数 $d$ の連結被覆で、一意の分岐点と分岐型 $\mu$ を持つものとして、1次元のハーツィッツ空間 $\mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp}$ を構成する。
• 周期写像を用いて、正方形タイル化された曲面が $\mathcal{H}(\mu)$ 内で整数座標を持つことを示し、代数的テイヒミュラー曲線の構成を可能にする。
• 写像 $h: \mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp} \to \overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ を用いて曲線をハイパーオービット的領域へ写し、その像がザリスキ・DNAであることを証明する。
• モノドロミー基準を用いて $\mathcal{T}_{d,\mu}$ の既約成分を分類し、それらが $SL(2,\mathbb{Z})$-軌道に対応することを示す。
• シーゲル＝ヴィーチ定数を用いてテイヒミュラー曲線のスロープ $s_\mu$ を計算し、式 $s_\mu = \frac{6}{\pi^2} \sum \lambda_i$ を用いてリャプノフ指数の和と関係づける。
• 有限被覆 $e: \mathcal{T}_{d,\mu,i} \to \overline{M}_{1,1}$ を用いて $N_{d,\mu,i}$ の次数を解析し、曲線成分の幾何を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数 $n$ に対して $\overline{M}_{0,n}$ 上に無限個の剛性曲線が存在し、それらが移動曲線の錐の中で同じ極値線を張るか？
• RQ2 写像 $h$ によるテイヒミュラー曲線の像の和集合が、$\overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ においてザリスキ・DNAか？
• RQ3 テイヒミュラー曲線のスロープは、ホッジ bundle のリャプノフ指数の和によって決定可能か？逆に、リャプノフ指数の和からスロープを特定できるか？
• RQ4 正方形タイル化された曲面の幾何的不変量（例えば分岐型やモノドロミー）は、対応するテイヒミュラー曲線の構造をどのように決定するか？

主な発見

• $\mu = (2g-2)$ または $(g-1,g-1)$ のとき、すべての $d,i$ に対して $h(\mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp})$ の和集合は $\overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ においてザリスキ・DNAであり、その $\overline{M}_{0,2g+2}$ 上での逆像もザリスキ・DNAである。
• 偶数 $n$ に対して、$\overline{M}_{0,n}$ 上に無限個の剛性曲線が存在し、それらはすべて移動曲線の錐の中で同じ極値線を張る。
• テイヒミュラー曲線のスロープ $s_\mu$ は、$s_\mu = \frac{6}{\pi^2} \sum_{i=1}^{g} \lambda_i$ で与えられ、ここで $\lambda_i$ はホッジ bundle のリャプノフ指数である。
• $g=6$ のとき、$\mathcal{H}^{odd}(2,2,2,2,2)$ のスロープ $s_\mu$ は約 6.88119 であり、$\mathcal{H}^{odd}(4,2,2,2)$ では約 6.98186 である。これはストラタごとの変動を示している。
• リャプノフ指数の和とテイヒミュラー曲線のスロープは一対一対応しており、スロープをリャプノフデータから計算可能であり、逆も同様である。
• 本稿では、$g \leq 6$ のすべてのストラタ $\mathcal{H}(\mu)$ に対して $s_\mu$ の明示的値を計算しており、特に $\mathcal{H}(5,1,1,1)$ では $s_\mu \approx 7.65324$、$\mathcal{H}^{hyp}(10)$ では $s_\mu \approx 8.66667$ である。