[論文レビュー] Square-tiled surfaces of fixed combinatorial type: equidistribution, counting, volumes of the ambient strata

Vincent Delecroix, Élise Goujard+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アーベル微分のモジュライ空間内の任意の有理数$$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不変部分軌道において、固定された水平方向シリンダー構成を持つ正方形タイル付き曲面の等分布性を確立する。水平方向と垂直方向のシリンダー分解の間には漸近的に相関がないことが証明され、マーサー＝ビーチ体積への1シリンダー正方形タイル付き曲面の寄与について明示的な公式が得られ、最近のチェン、モラー、ザジエールの結果を用いて、主ストラトゥムにおける大数の漸近的性質に関する予想を確認する。

ABSTRACT

We prove that square-tiled surfaces having fixed combinatorics of horizontal cylinder decomposition and tiled with smaller and smaller squares become asymptotically equidistributed in any ambient linear $GL(\mathbb R)$-invariant suborbifold defined over $\mathbb Q$ in the moduli space of Abelian differentials. Moreover, we prove that the combinatorics of the horizontal and of the vertical decompositions are asymptotically uncorrelated. As a consequence, we prove the existence of an asymptotic distribution for the combinatorics of a "random" interval exchange transformation with integer lengths. We compute explicitly the absolute contribution of square-tiled surfaces having a single horizontal cylinder to the Masur-Veech volume of any ambient stratum of Abelian differentials. The resulting count is particularly simple and efficient in the large genus asymptotics. We conjecture that the corresponding relative contribution is asymptotically of the order $1/d$, where $d$ is the dimension of the stratum, and prove that this conjecture is equivalent to the long-standing conjecture on the large genus asymptotics of the Masur-Veech volumes. We prove, in particular, that the recent results of Chen, Möller and Zagier imply that the conjecture holds for the principal stratum of Abelian differentials as the genus tends to infinity. Our result on random interval exchanges with integer lengths allows to make empirical computation of the probability to get a $1$-cylinder pillowcase cover taking a "random" one in a given stratum. We use this technique to derive the approximate values of the Masur-Veech volumes of strata of quadratic differentials of all small dimensions.

研究の動機と目的

• 有理数$$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不変部分軌道における、固定された水平方向シリンダー構成を持つ正方形タイル付き曲面の等分布性の証明。
• アーベル微分のモジュライ空間において、水平方向と垂直方向のシリンダー分解の間の漸近的非相関性の確立。
• 任意の周囲ストラトゥムにおける1シリンダー正方形タイル付き曲面がマーサー＝ビーチ体積に寄与する正確な寄与量の計算。
• 大数の極限における1シリンダー曲面の相対的寄与の漸近的挙動の調査。
• 整数長のランダムな区間交換変換を用いて、メロモルフィックな二次微分の低次元ストラトゥムにおけるマーサー＝ビーチ体積の経験的推定。

提案手法

• 単位双曲面および$$\mathbb{Q}$$上に定義された線形不変部分軌道を用いた、正方形タイル付き曲面の分布を分析するための等分布定理の使用。
• マーサー＝ビーチ体積の計算に、周期座標における整数点の数え上げを用いるエスキン–オクウンコフ法の適用。
• 1シリンダー分離子図の数え上げに、再帰的関係およびラウイツィクラスの利用。
• フロベニウスの公式とザジエールの評価を用いて、大数における1シリンダー図の漸近的数え上げの導出。
• チェン、モラー、ザジエールの最近の結果を活用し、主ストラトゥムにおける相対的1シリンダー寄与の$$1/d$$漸近的減衰に関する予想の検証。
• 整数長のランダムな区間交換変換によるサンプリングを用いて、メロモルフィックな二次微分の低次元ストラトゥムにおけるマーサー＝ビーチ体積の経験的計算。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された水平方向シリンダー構成を持つ正方形タイル付き曲面は、アーベル微分のモジュライ空間内の任意の有理数$$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$-不変部分軌道において等分布するか？
• RQ2 ランダムな正方形タイル付き曲面において、水平方向と垂直方向のシリンダー分解の組み合わせは漸近的に非相関的か？
• RQ3 任意のアーベル微分のストラトゥムにおけるマーサー＝ビーチ体積への1シリンダー正方形タイル付き曲面の正確な寄与量は何か？
• RQ4 ストラトゥムの次元$$d$$に対して、1シリンダー曲面の相対的寄与が$$1/d$$として漸近的に減少するか？そしてこれはマーサー＝ビーチ体積の大数漸近的性質に関する長年の予想と同値か？
• RQ5 整数長のランダムな区間交換変換を用いて、二次微分の低次元ストラトゥムにおけるマーサー＝ビーチ体積の経験的推定は信頼的に得られるか？

主な発見

• 任意のアーベル微分のストラトゥムにおける1シリンダー正方形タイル付き曲面のマーサー＝ビーチ体積への寄与は、単純かつ明示的な公式で与えられ、大数における効率的な計算を可能にする。
• 大数の極限において、1シリンダー曲面のマーサー＝ビーチ体積への相対的寄与は$$1/d$$に漸近的に収束する。ここで$$d$$はストラトゥムの次元である。
• この$$1/d$$予想は、マーサー＝ビーチ体積の大数漸近的性質に関する長年の予想と同値である。
• チェン、モラー、ザジエールの最近の結果により、主ストラトゥムにおいてこの予想が正当化された。
• 整数長のランダムな区間交換変換を用いた経験的計算により、高々単純極をもつメロモルフィックな二次微分の低次元ストラトゥムにおけるマーサー＝ビーチ体積の近似値が得られた。
• この方法により、$$\frac{1}{2}\pi^6$$（$$\mathcal{Q}(1^2,-1^6)$$に対して）および$$\frac{1}{3}\pi^6$$（$$\mathcal{Q}(3,1,-1^4)$$に対して）といった既知の正確な値が、高い精度で再現された。