[論文レビュー] Stabilization of polynomial dynamical systems using linear programming based on Bernstein polynomials

Mohamed Amin Ben Sassi, Sriram Sankaranarayanan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベルヌーイ多項式とポリシー反復を用いて、多項式力学系の安定化のための線形計画法ベースの手法を提示する。この手法は、双線形多項式最適化問題の線形緩和を繰り返し解くことで、指定されたボックス領域の漸近的安定性と不変性を保証し、ベンチマーク例において効率的な収束を示す。

ABSTRACT

In this paper, we deal with the problem of synthesizing static output feedback controllers for stabilizing polynomial systems. Our approach jointly synthesizes a Lyapunov function and a static output feedback controller that stabilizes the system over a given subset of the state-space. Specifically, our approach is simultaneously targeted towards two goals: (a) asymptotic Lyapunov stability of the system, and (b) invariance of a box containing the equilibrium. Our approach uses Bernstein polynomials to build a linear relaxation of polynomial optimization problems, and the use of a so-called "policy iteration" approach to deal with bilinear optimization problems. Our approach can be naturally extended to synthesizing hybrid feedback control laws through a combination of state-space decomposition and Bernstein polynomials. We demonstrate the effectiveness of our approach on a series of numerical benchmark examples.

研究の動機と目的

• 多項式系に対する静的出力フィードバック制御則の設計において、与えられた状態空間領域の漸近的安定性と不変性を両立させる挑戦に応えること。
• 出力フィードバック制御における双線形行列不等式（BMI）の非凸性を克服し、問題を線形計画問題の系列に再定式化すること。
• ポリシー反復フレームワークを用いて、リャプノフ関数とフィードバック制御則係数を交互に最適化することで、計算を効率化すること。
• 状態空間の分解とベルヌーイ多項式緩和を用いて、ハイブリッドフィードバック制御へと手法を拡張すること。
• 次元数やボックス制約が異なる多様なベンチマーク多項式系において、実用的有効性を示すこと。

提案手法

• ベルヌーイ多項式を用いて多項式最適化問題を線形化し、非凸な双線形項を解ける線形計画問題に緩和する。
• ポリシー反復スキームにより、フィードバック制御則を固定してリャプノフ関数を最適化し、逆にリャプノフ関数を固定して制御則を最適化する操作を交互に繰り返し、安定性および不変性条件を段階的に改善する。
• リャプノフ安定性と不変性をボックス領域上の多項式不等式として定式化し、ベルヌーイ係数解析を用いて正定性を強制する。
• 再定式化線形化技術を用いて、高次多項式項をLPソルバーに適した線形形式に変換する。
• リャプノフ関数およびフィードバック制御則の両方について、係数を最適化するテンプレートベースの多項式形式を仮定する。
• 状態空間を分割し、各領域に同一のLPベースの緩和を適用することで、ハイブリッド制御則への自然な拡張が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルヌーイ多項式緩和と線形計画法の組み合わせにより、多項式系に対して静的出力フィードバック制御則とリャプノフ関数の共同合成を線形計画法の緩和のみで達成できるか。
• RQ2 ベルヌーイ多項式緩和を用いたポリシー反復は、制御則合成のための双線形多項式最適化問題に対して、どの程度有効に機能するか。
• RQ3 指定されたボックス領域の不変性は、多項式系における漸近的安定性と併せて、どの程度保証できるか。
• RQ4 本手法の計算スケーラビリティおよび収束特性は、次元数や複雑さが異なる系においてどのように変化するか。
• RQ5 既存のBMIベースや和の平方（SOS）法と比較して、実用ベンチマークにおいて、本手法は効率性および実行可能性の面で優れているか。

主な発見

• 本手法は11例のベンチマーク多項式系のうち7例を安定化させ、5次元までの状態変数と非自明な非線形性を持つ例も含む。
• 2次元系では1イタレーションあたり約1秒、3次元系では1秒あたり2〜3秒の計算時間を要した。
• 大多数の系で3〜6イタレーションで妥当解に収束した。例11ではわずか2イタレーションで収束した。
• 不変性は11例中6例で達成され、残りのケースは安定性と不変性の両条件を厳密に同時に満たすことが困難だったため失敗した。
• 例9（4次元）および例11（5次元）のような高次元系に対しても、小さな妥当性ギャップ（例：6×10⁻⁵）を伴いながらも妥当解を達成し、ロバストネスを示した。
• 収束保証がないにもかかわらず、多様なベンチマークにおいて一貫して安定化制御則とリャプノフ関数を発見したため、実用的有効性が示唆された。