[論文レビュー] Stable Directions for Excited States of Nonlinear Schrödinger Equations

Tai‐Peng Tsai, Horng‐Tzer Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2001

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非共鳴および共鳴の場合の両方において、初期データの有限余次元部分集合に対して、3次元非線形シュレーディンガー方程式の解が励起状態に収束することを構築する。共鳴の場合、線形化作用素が埋め込まれた固有値を持つハミルトニアンの非自己随伴摂動であるが、フェルミの黄金律が埋め込まれた固有値が二つの共鳴に分裂することを決定し、線形不安定性にもかかわらず安定した収束を可能にする。

ABSTRACT

We consider nonlinear Schrödinger equations in $\R^3$. Assume that the linear Hamiltonians have two bound states. For certain finite codimension subset in the space of initial data, we construct solutions converging to the excited states in both non-resonant and resonant cases. In the resonant case, the linearized operators around the excited states are non-self adjoint perturbations to some linear Hamiltonians with embedded eigenvalues. Although self-adjoint perturbation turns embedded eigenvalues into resonances, this class of non-self adjoint perturbations turn an embedded eigenvalue into two eigenvalues with the distance to the continuous spectrum given to the leading order by the Fermi golden rule.

研究の動機と目的

• 初期データの特定の有限余次元部分集合に対して、3次元非線形シュレーディンガー方程式の解が励起状態に収束することを確立すること。
• 線形化作用素が埋め込まれた固有値を持つハミルトニアンの非自己随伴摂動である共鳴の場合の漸近的ダイナミクスを分析すること。
• 共鳴の場合に、フェルミの黄金律が二つの結果する固有値と連続スペクトルとの距離を支配することを示すこと。
• 励起状態に収束する初期データの集合が小さい（余次元1の超曲面）こと、物理的不安定性の直観に整合することを示すこと。
• 非共鳴の場合を越えて、線形不安定性が示唆するよりも、地面状態への緩和を避ける解を構築すること。

提案手法

• 励起状態まわりの線形化作用素の構造を用いて、重み付きソボレフ空間枠組みにおけるライアプノフ–ペロン型の方法により解を構築する。
• 解を非線形励起状態、不安定方向における小さな摂動、連続スペクトルにおける分散成分に分解する。
• 共鳴の場合に、フェルミの黄金律を用いて、埋め込まれた固有値が二つの共鳴に一次的に分裂することを決定する。
• 関数空間 $\mathcal{A} = \{g(t) : \|g(t)\|_{H^2} \leq C\varepsilon^3(1+t)^{-2}\}$ における収縮写像の議論を用いて非線形時間発展方程式を解く。
• 線形化作用素 $\mathcal{L}_1$ による伝搬作用素 $e^{t\mathcal{L}_1}$ を用いて解の時間発展を分析し、$H^2$-ノルムにおける減衰推定を証明する。
• 解が $\|\psi(t) - \psi_{\text{as}}(t)\|_{H^2} = O(t^{-7/4})$ を満たすことを示し、$\psi_{\text{as}}(t)$ を漸近的プロファイルとして、漸近的安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形不安定性が示唆するよりも、3次元非線形シュレーディンガー方程式の解が、地面状態への緩和を避けて励起状態に収束することは可能か？
• RQ2 非自己随伴摂動が、埋め込まれた固有値を持つ線形ハミルトニアンのスペクトル構造に与える影響は何か？
• RQ3 共鳴の場合に、フェルミの黄金律は、埋め込まれた固有値が二つの共鳴に分裂する過程において果たす役割は何か？
• RQ4 励起状態に収束する初期データの有限余次元部分集合が存在するか？その集合の構造は何か？
• RQ5 共鳴相互作用が存在する中でも、ソボレフノルムにおける明確な誤差推定を用いて漸近的ダイナミクスを記述できるか？

主な発見

• $H^1(\mathbb{R}^3)$ 内の初期データの有限余次元部分集合に対して、非線形シュレーディンガー方程式の解は、非共鳴および共鳴の場合の両方において励起状態に収束する。
• 共鳴の場合、非自己随伴摂動により埋め込まれた固有値が二つの固有値に分裂し、それらの連続スペクトルからの距離は一次的にフェルミの黄金律によって与えられる。
• 解は $H^2$-ノルムにおいて $O(t^{-7/4})$ の誤差境界で励起状態に収束し、強い漸近的安定性を示す。
• 励起状態に収束する初期データの集合は余次元1の超曲面であり、測度ゼロであり、物理的不安定性の期待に一致する。
• $\|g\|_{\mathcal{A}} := \sup_t (1+t)^2 \|g(t)\|_{H^2}$ を用いた空間 $\mathcal{A}$ における収縮写像の議論により、$\|g(t)\|_{H^2} \leq C\varepsilon^3(1+t)^{-2}$ を満たす固定点解が得られ、これにより大域的存在と減衰が保証される。
• 本手法は線形ハミルトニアンに存在する束縛状態の数にかかわらず適用可能であるが、非線形励起状態まわりの線形化作用素は $L^2$ で有界でないため、慎重なスペクトル解析が必要となる。