[論文レビュー] Stack-sorting for Words

Colin Defant, Noah Kravitz|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、繰り返しのある文字列へのウェストのスタックソーティング写像の一般化として、$τ$-ハスキーと$τ$-ウサギの2つの新しいスタックソーティング作用素を導入する。ウサギ作用素はハスキー作用素よりも特定の文字列を任意に高速にソートできることを示し、前像の数を計算するための一般化された有効フック配置理論を構築し、$231$および$221$を回避する$ε$-一様な文字列が$(\ell+1)$-カタラン数によって数えられることを証明する。

ABSTRACT

We introduce operators $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$, which act on words as natural generalizations of West's stack-sorting map. We show that the heuristically slower algorithm $\mathsf{tortoise}$ can sort words arbitrarily faster than its counterpart $\mathsf{hare}$. We then generalize the combinatorial objects known as valid hook configurations in order to find a method for computing the number of preimages of any word under these two operators. We relate the question of determining which words are sortable by $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$ to more classical problems in pattern avoidance, and we derive a recurrence for the number of words with a fixed number of copies of each letter (permutations of a multiset) that are sortable by each map. In particular, we use generating trees to prove that the $\ell$-uniform words on the alphabet $[n]$ that avoid the patterns $231$ and $221$ are counted by the $(\ell+1)$-Catalan number $\frac{1}{\ell n+1}{(\ell+1)n\choose n}$. We conclude with several open problems and conjectures.

研究の動機と目的

• 置換から繰り返しのある文字列へのウェストのスタックソーティング写像の拡張を目的とする。
• 等価な要素がスタック内でどのように作用するかの違いを特徴とする、$τ$-ハスキーと$τ$-ウサギの2つの新しいスタックソーティング作用素の定義と分析を行う。
• 任意の文字列がこれらの作用素のもとでもつ前像の数を計算するための、有効フック配置の一般化理論を構築する。
• これらの作用素におけるソーティング可能な文字列を古典的なパターン回避問題と関連づけ、列挙的結果を導出する。
• 文字列の肥沃度（前像の数）を調査し、両作用素のもとで任意の非負整数が肥沃度として実現可能であると予想する。

提案手法

• 等価な要素のスタック内での扱いを異なるルールで定めた、ウェストのスタックソーティング写像の自然な一般化として、$τ$-ハスキーおよび$τ$-ウサギ作用素を定義する。
• エッジケースの解析のため、正規化された文字列と例外的（exceptional）な文字列の概念を導入する。
• 多重集合を扱えるように有効フック配置の概念を一般化し、2つの作用素における前像の数を計算する。
• 生成木と再帰的分解を用いて、固定された文字の多重集合を持つソーティング可能な文字列の数の再帰的関係を導出する。
• $231$および$221$のパターンを回避する$ε$-一様な文字列の数が、$(\ell+1)$-カタラン数$\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$に等しいことを証明する。
• 例外的（exceptional）な文字列の漸近的挙動を解析し、正規化された文字列に比べた例外的文字列の割合が長さとともに増加すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しのある文字列において、$τ$-ハスキーと$τ$-ウサギ作用素のソーティング速度はどのように比較できるか？
• RQ2 与えられた文字列の$τ$-ハスキーおよび$τ$-ウサギ作用素における前像の数は何か？
• RQ3 どの文字列が$τ$-ハスキーおよび$τ$-ウサギ作用素でソーティング可能であり、これは古典的なパターン回避問題とどのように関係するか？
• RQ4 これらの作用素において、すべての非負整数が肥沃度（前像の数）として実現可能か？
• RQ5 正規化された文字列の中で、例外的（標準規則に従って正しくソーティングされない）文字列の漸近的密度は何か？

主な発見

• $τ$-ウサギ作用素は、特定の文字列を$τ$-ハスキー作用素よりも任意に高速にソーティングでき、顕著な性能優位性を示す。
• $[n]$のアルファベット上で$231$および$221$のパターンを回避する$ε$-一様な文字列の数は、$(\ell+1)$-カタラン数$\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$で与えられる。
• 長さ$m$の例外的正規化文字列の集合は、$m \geq 7$のとき空でない。$|\mathcal{E}_7| = 4$、$|\mathcal{E}_8| = 172$、$|\mathcal{E}_9| = 5001$である。
• 例外的文字列と正規化文字列の比は$m$とともに増加しており、正の極限密度を示唆しており、著者らは$\lim_{m\to\infty} |\mathcal{E}_m|/|\mathcal{NW}_m|$が存在すると予想する。
• すべての非負整数が、$τ$-ハスキーおよび$τ$-ウサギ作用素のもとで、ある文字列の肥沃度（前像の数）として実現可能である。
• 著者らは、これらの作用素のもとで任意の置換の肥沃度として実現されない正の整数が無限に存在すると予想し、2-一様な文字列における肥沃度に関する未解決の問題を提示する。