[論文レビュー] State monads and their algebras

François Métayer|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、状態対象 $ S $ が空でないかつ圏が正規のエピ-モノ因子分解を持つ場合、直積閉圏における状態モナド関手 $ U: X \mapsto X^S $ がモナディックであることを確立する。ベース圏から $ T $-代数の圏への比較関手が同値であることを示し、$ T $-代数が評価写像を備えた指数対象 $ X^S $ であることを示し、状態更新および参照操作を含む記号の体系を用いた等式的記述を提供する。

ABSTRACT

State monads in cartesian closed categories are those defined by the familiar adjunction between product and exponential. We investigate the structure of their algebras, and show that the exponential functor is monadic provided the base category is sufficiently regular, and the exponent is a non-empty object.

研究の動機と目的

• 状態モナド関手 $ U: X \mapsto X^S $ が直積閉圏においてどのような圏的条件下でモナディックであるかを特定すること。
• 状態モナド $ T = UF $ の $ T $-代数の構造を特徴づけること。ここで $ F(X) = S \times X $ かつ $ U(X) = X^S $ である。
• 圏 $ \mathbf{C} $ が正規かつ $ S $ が空でないという条件下で、比較関手 $ K: \mathbf{C} \to \mathbf{Alg}^T $ が同値であることを示し、$ U $ のモナディック性を示すこと。
• 状態参照および更新操作を含む記号の体系を用いて、$ T $-代数の等式的記述を提供し、関数型プログラミングの意味論と整合させる。

提案手法

• ベックのモナディック性基準を用いて、直積閉圏における関手 $ U: X \mapsto X^S $ のモナディック性を検証する。
• 比較関手 $ K $ の逆関手 $ L: \mathbf{Alg}^T \to \mathbf{C} $ を構成し、$ T $-代数からその状態の元の集合へ写像する。
• $ LK $ と $ \mathbf{C} $ 上の恒等関手との間に自然同型を、$ KL $ と $ \mathbf{Alg}^T $ 上の恒等関手との間に自然同型を定義し、同値性を証明する。
• アリティ $ S $ の参照記号 $ \mathtt{l} $ とアリティ 1 の更新記号 $ \mathtt{u}_s $ を含む記号体系 $ \Sigma $ を導入し、状態の振る舞いを記述する等式理論 $ E $ を定義する。
• $ T $-代数がちょうど $ \langle \Sigma, E \rangle $-代数に一致することを示し、$ A^S $ が標準的モデルであることを示す。
• 評価射 $ \epsilon_Y: S \times Y^S \to Y $ がスプリットエピであることを示し、$ q_Y^*: Y \to Y^S $ がモノモルフィズムであることを示し、これにより自然同型 $ \xi_Y $ の構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直積閉圏において、状態モナド関手 $ U: X \mapsto X^S $ がどのような条件下でモナディックであるか。
• RQ2 状態モナド $ T = UF $ の $ T $-代数の正確な圏的構造は何か。ここで $ F(X) = S \times X $ である。
• RQ3 $ T $-代数の圏がベース圏 $ \mathbf{C} $ と同値になり得るか。その場合、$ \mathbf{C} $ および $ S $ に対してどのような仮定が必要か。
• RQ4 直積閉圏の文脈において、状態モナドの代数を有限の等式的理論でどのように記述できるか。
• RQ5 関数型プログラミングにおける等式的公理（例：[5] からのもの）は、両方の解釈が可能である場合、$ T $-代数の圏的構造と一致するか。

主な発見

• 関手 $ U: X \mapsto X^S $ は、正規のエピ-モノ因子分解を持つ任意の直積閉圏 $ \mathbf{C} $ および空でない状態対象 $ S $ に対してモナディックである。
• 比較関手 $ K: \mathbf{C} \to \mathbf{Alg}^T $ は、$ Y \mapsto \langle Y^S, \epsilon_Y^S \rangle $ として定義され、圏の同値である。
• すべての $ T $-代数は、ある形の $ \langle Y^S, \epsilon_Y^S \rangle $ に同型であり、$ T $-代数は評価を備えた指数対象 $ Y^S $ そのものに他ならない。
• $ T $-代数の圏は、記号体系 $ \Sigma $ に参照操作 $ \mathtt{l} $ と更新操作 $ \mathtt{u}_s $ を含み、$ E $ が状態の一貫性公理を記述する $ \langle \Sigma, E \rangle $-代数の圏と同値である。
• 評価写像 $ \epsilon_Y: S \times Y^S \to Y $ はスプリットエピである。また、写像 $ q_Y^*: Y \to Y^S $ はモノモルフィズムであり、これにより自然同型 $ \xi_Y $ の構成が可能になり、同値性が裏付けられる。
• 集合の圏において、$ Y^S $ 上の $ T $-代数構造は、状態参照および更新を伴う状態付き計算の標準的解釈に正確に一致する。