[論文レビュー] Stationary measure for two-state space-inhomogeneous quantum walk in one dimension

Hikari Kawai, Takashi Komatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、1次元整数格子上の2状態空間不均一量子ウォークの定常測度を、ユニタリ時間発展演算子の固有値問題を解くことによって導出する。主な貢献は、1欠陥および空間均一ケースの先行研究を拡張し、多欠陥モデルにおける定常測度の一般解析的解を提供することであり、指数型および二次多項式型の測度を含む。

ABSTRACT

We consider the two-state space-inhomogeneous coined quantum walk (QW) in one dimension. For a general setting, we obtain the stationary measure of the QW by solving the eigenvalue problem. As a corollary, stationary measures of the multi-defect model and space-homogeneous QW are derived. The former is a generalization of the previous works on one-defect model and the latter is a generalization of the result given by Konno and Takei (2015).

研究の動機と目的

• Z 上の複数の欠陥を有する1次元格子における2状態空間不均一量子ウォークの定常測度を導出すること。
• 1欠陥モデルおよび空間均一量子ウォークに関する先行結果を一般化すること。
• 非一様定常測度（特に指数型および二次多項式型）が生じる条件を特定すること。
• 任意の欠陥配置に対して、転送行列と固有値解を用いた一般枠組みを確立すること。
• 多様な量子ウォークモデル（多欠陥および均一設定を含む）における定常測度を統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 位置依存ユニタリコイン行列 $ U_x $ を用いて2状態空間不均一量子ウォークを定式化し、左移動成分 $ P_x $ および右移動成分 $ Q_x $ に分解する。
• 時間発展演算子 $ U^{(s)} $ を用いて時間発展をモデル化し、$ P_{x+1} $ および $ Q_{x-1} $ を介して隣接サイトの振幅を結合する。
• 転送行列技術を適用して固有値問題 $ U^{(s)} \Psi = \lambda \Psi $ を解く。ここで $ \lambda $ は絶対値が1の複素固有値である。
• 欠陥からの相対的位置に応じた領域ごとに、転送行列 $ D^+ $ および $ D^- $ を用いた再帰的関係式に基づき、すべての $ x \in \mathbb{Z} $ における振幅 $ \Psi(x) $ を導出する。
• 時間発展演算子下での時間不変性を保証するため、定常測度を $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $ として構成する。
• 特性方程式の異なる根および重根のケースを分析し、$ \lambda $, $ \alpha $, $ \beta $, および $ \omega $ を用いた振幅の表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z 上の複数の欠陥を有する2状態空間不均一量子ウォークの定常測度の一般形は何か？
• RQ2 1欠陥モデルおよび空間均一量子ウォークの定常測度は、一般解の特殊ケースとしてどのように現れるか？
• RQ3 定常測度が指数的減衰または二次多項式的挙動を示す条件は何か？
• RQ4 転送行列法は、不均一量子ウォークモデルにおける定常測度を体系的に導出するために適用可能か？
• RQ5 固有値 $ \lambda $ は定常測度の構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意の多欠陥配置を有するZ 上の2状態空間不均一量子ウォークに対して、定常測度 $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $ が導出された。
• Konnoら [20] が以前に発見した指数型定常測度は、$ \lambda = e^{\pm \pi i/4} $ の場合に一般解の特殊ケースとして含まれる。
• KonnoおよびTakei [21] が得た二次多項式型定常測度は、一般解における極限ケースとして回復された。
• 特性方程式の異なる根のケースでは、振幅 $ \Psi(x) $ は $ \Lambda_\pm $ の累乗を用いて表現され、$ \Psi(1), \Psi(2), \Psi(-1), \Psi(-2) $ を含む係数を有する。
• 重根のケース（$ \lambda = \pm e^{\pm \pi i/4} $）では、振幅は $ x $ に対して線形に増加し、多項式型の定常測度が得られる。
• 定常測度は振幅解から明示的に $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $ を介して構成され、$ \mathbb{Z} $ 内のすべての $ x $ に対して閉形式の表現が得られた。これには欠陥から遠く離れた領域も含まれる。