[論文レビュー] Stochastic homogenization of a nonconvex Hamilton-Jacobi equation

Scott N. Armstrong, Hung V. Tran+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、パrameter μ と σ を含む一連の部分方程式を導入することで、真正に非凸なハミルトニアン・ヤコビ方程式に対する最初の定性的な確率的均質化結果を確立した。比較原理と劣加法的エルゴード定理を用いて、解が非球対称で非凸な構造を有する決定的効果的ハミルトニアンに収束することを証明した。この構造には |p|=0 および |p|=1 の位置に平坦な領域（flat spots）が含まれる。

ABSTRACT

We present a proof of qualitative stochastic homogenization for a nonconvex Hamilton-Jacobi equation. The new idea is to introduce a family of "sub-equations" and to control solutions of the original equation by the maximal subsolutions of the latter, which have deterministic limits by the subadditive ergodic theorem and maximality.

研究の動機と目的

• 確率的均質化の未解決問題、すなわち確率的媒体における非凸ハミルトニアン・ヤコビ方程式の均質化を解明すること。
• 従来の結果の範囲を制限していた凸またはレベルセット凸ハミルトニアンにとどまらない、均質化理論の拡張。
• 非凸方程式の効果的ハミルトニアンが、「メキシコ帽」型の形状（平坦領域を含む）のような複雑な幾何的特徴を継承できることを示すこと。
• 解を最大部分解の決定的極限によって制御できる、部分方程式に基づく新規な手法の開発。

提案手法

• σ ∈ [−1,1] および μ ≥ −inf V を満たすパrameter を用いた、|Du|² = 1 + σ√(μ + V(y)) の形をした部分方程式の族を導入する。
• 劣加法的エルゴード定理を用いて、これらの部分方程式の最大部分解が決定的極限を持つことを示す。
• 元の方程式の解と部分方程式の最大部分解との間で比較議論を適用する。
• 部分方程式の構造を活用して、度合い問題における平方根の異なる分岐を接続し、非凸的挙動を制御する。
• 解の対称性および比較性を用いて、スケール ε に依存しない一様推定を得る。
• 背理法による収束の証明：収束しないと仮定すると、比較原理が破られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常的でエルゴード的な確率的環境下において、非凸なハミルトニアン・ヤコビ方程式の確率的均質化を確立できるか？
• RQ2 このような方程式の効果的ハミルトニアンは、非球対称で非凸な特徴（平坦領域、局所的最大・最小点）を保持するか？
• RQ3 最大部分解が決定的極限を持つような部分方程式の族を構成できるか？
• RQ4 凸性が欠如する状況でも、比較原理が均質化の証明に十分か？
• RQ5 非凸設定において、部分方程式の構造が解集合の異なる分岐をどのように接続するか？

主な発見

• 効果的ハミルトニアン H̄(p) は非球対称かつ非凸であり、「メキシコ帽」型の形状を有し、p=0 に局所的最大点、|p|=1 の近傍に大域的最小点を有する。
• 効果的ハミルトニアン H̄(p) には二つの平坦領域（flat spots）が存在する：一つは原点近傍（局所的最大点）、もう一つは |p|=1 の近傍（大域的最小点）。
• 非凸ハミルトニアン・ヤコビ方程式 (1.1) の解 u^ε は、ε→0 のとき、効果的決定的方程式 (1.2) の解 u に対して局所的に一様に収束する。
• 収束は、部分方程式 (1.4) の最大部分解との比較によって確立され、劣加法的エルゴード定理によりそれらの極限が決定的であることが保証される。
• 本手法は、K が凸で、Φ が連続的かつ s→∞ のとき Φ(s)→∞ となる形の u_t^ε + Φ(K(Du^ε)) - V(x/ε) = 0 の形のより広い方程式族に適用可能である。
• 本結果は、確率的均質化における長年の未解決問題を解決した。特に、確率的環境下における真正に非凸なハミルトニアンに対して、これまでは類似の結果が得られていなかった。