[論文レビュー] Stochastic processes in turbulent transport

Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Particle Dynamics in Fluid Flows参考文献 74被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ランダムな速度場のクライヒナンモデルにおける確率過程を用いて乱流輸送を調査し、滑らかでない完全に乱れた流れが、多粒子系の隠れた統計的保存則（「ゼロモード」）によってスカラー構造関数に異常スケーリングを引き起こすことを明らかにした。研究では、間歇性とこれらのゼロモードを結びつける摂動的枠組みを確立し、非平衡なエネルギー級画像現象および非微分可能な流れにおける爆発的軌道分離を説明した。

ABSTRACT

This is a set of four lectures devoted to simple ideas about turbulent transport, a ubiquitous non-equilibrium phenomenon. In the course similar to that given by the author in 2006 in Warwick [45], we discuss lessons which have been learned from naive models of turbulent mixing that employ simple random velocity ensembles and study related stochastic processes. In the first lecture, after a brief reminder of the turbulence phenomenology, we describe the intimate relation between the passive advection of particles and fields by hydrodynamical flows. The second lecture is devoted to some useful tools of the multiplicative ergodic theory for random dynamical systems. In the third lecture, we apply these tools to the example of particle flows in the Kraichnan ensemble of smooth velocities that mimics turbulence at intermediate Reynolds numbers. In the fourth lecture, we extends the discussion of particle flows to the case of non-smooth Kraichnan velocities that model fully developed turbulence. We stress the unconventional aspects of particle flows that appear in this regime and lead to phase transitions in the presence of compressibility. The intermittency of scalar fields advected by fully turbulent velocities and the scenario linking it to hidden statistical conservation laws of multi-particle flows are briefly explained.

研究の動機と目的

• 簡略化された確率的モデルを用いて、乱流場における受動粒子およびスカラー場の統計的挙動を理解すること。
• 滑らかでない完全に発達した乱流速度場が、微分可能な系では観察されない非常な粒子動力学を引き起こす仕組みを分析すること。
• スカラー構造関数における異常スケーリングの起源を特定し、多粒子系における隠れた保存則と結びつけること。
• 乗法的エルゴード理論とゼロモード解析を用いた非平衡乱流輸送の理論的枠組みを構築すること。
• 滑らかな速度場集合からの知見を滑らかでない慣性域の乱流場へと拡張し、相転移と間歇性を明らかにすること。

提案手法

• 中間的および完全に発達した乱流をモデル化するため、ガウス分布に従い、空間相関が $ |x|^{\xi} $ のスケーリングを示すランダム速度場のクライヒナン集合を用いる。
• 確率的力学系における粒子軌道のリャプノフスペクトルおよび安定性を分析するため、乗法的エルゴード理論の道具を適用する。
• $ N $ 粒子ラグランジュ的座標の同時確率分布に対するフォッカー・プランク方程式を導出し、生成子 $ \mathcal{M}_N $ のゼロモードとして保存量を同定する。
• $ \xi $ および $ 1/d $ における摂動展開を実行し、スカラー構造関数のスケーリング指数 $ \zeta_N $ を計算し、次元的および異常的寄与を分離する。
• 異常スケーリング項 $ \sim \frac{N(N-2)(1+2\wp)\xi}{2d} $ がゼロモード寄与に起因することを特定し、スカラー統計における間歇性を説明する。
• 2Dおよび3Dのクライヒナンモデルにおける数値シミュレーションと比較することで、$ 2\zeta_2 - \zeta_4 $ の摂動的予測を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全にナビエ＝ストークス方程式の動的を含まない状況において、確率的速度場集合はどのように乱流輸送をモデル化できるか？
• RQ2 多粒子フォッカー・プランク生成子のゼロモードは、スカラー構造関数の異常スケーリングにどのように寄与するか？
• RQ3 滑らかでない乱流場における粒子軌道がなぜ爆発的分離や衝突的収縮を示すのか、そしてそれが輸送にどのように影響するか？
• RQ4 完全に発達した乱流におけるスカラーの間歇性は、多粒子系の動的における隠れた統計的保存則とどのように関係するか？
• RQ5 クライヒナンモデルにおいて、摂動論的手法を用いて構造関数の異常スケーリング指数を体系的に計算可能か？

主な発見

• 3次元非圧縮性クライヒナンモデルにおけるスカラー構造関数の異常スケーリング指数 $ \zeta_N $ は、$ \zeta_N = \frac{N}{2}(2 - \xi) - \frac{N(N-2)(1 + 2\wp)\xi}{2d} + O(\xi^2) $ で与えられ、2番目の項はゼロモード寄与に起因する。
• 数値的シミュレーションにより、$ 2\zeta_2 - \zeta_4 $ の摂動的予測が、2Dおよび3D両方のクライヒナンモデルで理論曲線と良好に一致することが確認された。
• 小さな $ |\mathbf{r}| $ におけるスカラー差分 $ \theta(t,\mathbf{r}) - \theta(t,\mathbf{0}) $ の分布に長い尾部が見られるのは、小スケールの間歇性を示しており、これは異常スケーリング項によって駆動されている。
• 生成子 $ \mathcal{M}_N $ のゼロモードは、有効な多粒子拡散過程におけるマルティンゲールを表し、$ N $ 粒子配置における統計的保存則を意味する。
• 滑らかでないクライヒナンモデルでは、非微分可能な速度場のため、粒子軌道が爆発的分離および衝突的収縮を示し、非零のフラックスを伴う非平衡輸送を引き起こす。
• ゼロモードの状況は、間歇性の起源をフラクチュエーション効果ではなく、多粒子ラグランジュ的力学における隠れた統計的保存則の結果として説明できる。