[論文レビュー] String quantization: Fock vs. LQG Representations

Robert C. Helling, Giuseppe Policastro|ArXiv.org|Sep 17, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、統一的枠組み内でフォック空間とループ量子重力（LQG）にインspiredされたボソン的ストリングの量子化を比較する。Thiemannのポリマー状態は微分同型不変状態をもたらすが、連続性を破り、調和振動子におけるエネルギー準位が有界でないといった物理的に不適切な特徴を生じる。一方、フォック表現では、Gupta-Bleuler法によるユニタリ実装が微分同型を要し、中心電荷が現れる。これは26次元でのみキャンセルされ、ストリング理論の臨界次元が回復される。

ABSTRACT

We set up a unified framework to compare the quantization of the bosonic string in two approaches: One proposed by Thiemann, based on methods of loop quantum gravity, and the other using the usual Fock space quantization. Both yield a diffeomorphism invariant quantum theory. We discuss why there is no central charge in Thiemann's approach but a discontinuity characteristic for the loop approach to diffeomorphism invariant theories. Then we show the (un)physical consequences of this discontinuity in the example of the harmonic oscillators such as an unbounded energy spectrum. On the other hand, in the continuous Fock representation, the unitary operators for the diffeomorphisms have to be constructed using the method of Gupta and Bleuler representing the diffeomorphism group up to a phase given by the usual central charge.

研究の動機と目的

• ボソン的ストリングのフォック空間とLQGに由来する（ポリマー）量子化アプローチを、統一的フォーマルィズム内で比較すること。
• 特にエネルギー準位と演算子の連続性に関して、ポリマー表現における不連続性の物理的結果を分析すること。
• Gupta-Bleuler法を用いてフォック表現内でのユニタリな微分同型生成子を構成できることを示すこと。
• 中心電荷のキャンセリングによってフォックアプローチでなぜ臨界次元26が現れるのかを明確にすること。
• ポリマー表現は微分同型不変ではあるが、連続性の欠如により調和振動子に対して物理的に不適切で、物理的同値でないことを主張すること。

提案手法

• C*-代数フレームワーク内で両量子化スキームを形式化し、代数的構造とヒルベルト空間表現を区別すること。
• GNS構成を用いて状態から量子代数を構築し、異なる表現の比較を可能にすること。
• 有界性と連続性を保証するため、非有界な場/運動量演算子の代わりにWeyl演算子を用いること。
• Gupta-Bleuler型の方法により微分同型のユニタリ実装を構成し、中心電荷に対応する位相を導入すること。
• 26個のフォックコピーとbc-ゴースト系をモジュラリに組み合わせ、中心電荷をキャンセルし、共形不変性を回復すること。
• ポリマー状態の弱連続性の欠如を分析し、これによりWeyl演算子の微分としての場演算子が定義できないこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ThiemannのLQGに由来する量子化はなぜ臨界次元26を回避するのか。この見かけの異常は物理的に何に起因するのか。
• RQ2 ポリマー表現の不連続性が、ストリング理論の文脈における調和振動子のスペクトルにどのように影響するか。
• RQ3 フォック表現内ではユニタリな微分同型生成子を一貫して構成できるか。中心電荷は果たす役割は何か。
• RQ4 なぜフォック真空は微分同型不変でないのか。フォックアプローチでは物理的状態空間はどのように得られるのか。
• RQ5 フォック表現とポリマー表現は物理的に不等価であるか。もしそうなら、実験的にどのように検証できるか。

主な発見

• ポリマー表現では弱連続性が欠如しており、Weyl演算子の微分としての場演算子が定義できない。
• ポリマー表現における調和振動子のエネルギー準位は有界でない。これは実験的観測と矛盾する。
• フォック表現では、ユニタリな微分同型生成子は位相の違いまでしか存在せず、代数における中心電荷に対応する。
• 中心電荷は26次元でのみ消える。これにより、フォックアプローチにおけるボソン的ストリング理論の臨界次元が説明される。
• フォック表現では、26個のコピーとbc-ゴースト系を組み合わせて中心電荷をキャンセルすることで、一貫性があり異常のない理論が得られる。
• 両アプローチとも微分同型不変理論をもたらすが、連続性とスペクトル特性の相違により、ポリマー表現とフォック表現は物理的に不等価である。