[論文レビュー] String Theory on AdS_3/Z_N

John Son|ArXiv.org|Jul 15, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、開口角 $2\pi/N$ の鋸歯状欠損をもつ $AdS_3$ を記述する $AdS_3/Z_N$ 背景における弦理論を研究する。$SL(2,R)$ WZW模型におけるスペクトルフローを用いて、$w = n/N$ の分数スペクトルフローからねじれセクターが生じることを示し、熱的分配関数が正しいスペクトルを再現することを確認することで、これらの特異幾何における一貫した弦理論が成立することを裏付けた。

ABSTRACT

We study string theory on singular Z_N quotients of AdS_3, corresponding to spaces with conical defects. The spectrum is computed using the orbifold procedure. It is shown that spectral flow may be used to generate the twisted sectors. We further compute the thermal partition function and show that it correctly reproduces the spectrum.

研究の動機と目的

• $Z_N$ オルビフォールディングによる $AdS_3$ の特異点をもつ $AdS_3/Z_N$ 背景における一貫した弦理論の構築。
• $SL(2,R)$ WZW模型におけるスペクトルフローがオルビフォールド幾何にどのように作用し、ねじれセクターを生成するかの理解。
• $AdS_3/Z_N$ における熱的分配関数の計算を行い、代数的手法で得られたスペクトルを正しく再現するかの検証。
• ねじれ状態が別個のセクターとして扱われるのではなく、オルビフォールドで分数スペクトルフローが記述可能かどうかの検討。
• $重力近似を越えて特異な $AdS_3$ 背景における弦の伝播を研究することで、$AdS_3$/CFT_2 対応に関する知見を拡張する。

提案手法

• $AdS_3$ における弦理論の基礎となる CFT として、レベル $k$ とパウリ行列によるパrametrization を用いた $SL(2,R)$ WZW模型を採用。
• $U(1)$ 等長性に対する $Z_N$ 動作による $AdS_3$ のオルビフォールド処理を行い、欠損角 $2\pi(1 - 1/N)$ の鋸歯状欠損を生成。
• 分数フロー係数 $w = n/N$ を用いたスペクトルフローを適用し、$n$ 番目のねじれセクターの状態を生成。これにより、オルビフォールドのねじれ状態と等価であることを示した。
• モジュラー不変性を用いて分配関数を計算し、位相因子 $\exp[-2\pi i b(q - \bar{q})/N]$ を用いて各ねじれセクターにわたる和をとり、不変状態への射影を実行。
• 半古典的極限（$k, h \gg 1$）における鞍点解析を実施し、分数スペクトルフローを伴う状態の $\tilde{j}$ 量子数の境界を導出。
• $J^3$ モーメントをボソン化して、ねじれ状態の明示的頂点演算子を構成。これにより、散乱振幅の計算が可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $AdS_3/Z_N$ のねじれセクターが $SL(2,R)$ WZW模型におけるスペクトルフローから生じるか？
• RQ2 $w = n/N$ の分数スペクトルフローを用いて、$Z_N$ オルビフォールドの $n$ 番目のねじれセクターを記述できるか？
• RQ3 $AdS_3/Z_N$ における熱的分配関数は、電流代数から代数的に得られたスペクトルを正しく再現するか？
• RQ4 分数スペクトルフローを伴う状態の $\tilde{j}$ 量子数に適用される境界は何か？また、$AdS_3$ の場合とどのように異なるか？
• RQ5 スペクトルフローを用いてねじれ状態の頂点演算子を明示的に構成可能か？また、これにより散乱振幅にどのような意味が生じるか？

主な発見

• $AdS_3/Z_N$ の $n$ 番目のねじれセクターは、$w = n/N$ のスペクトルフローによって生成され、ねじれ状態が独立ではなく、被覆空間上のフローから生じることを示した。
• ねじれセクターにわたるモジュラー和を用いて計算した熱的分配関数は、代数的手法で得られたスペクトルと一致し、構成の整合性を裏付けた。
• 負の分数スペクトルフロー（$w = -a/N$）を伴う状態は、$AdS_3$ では負のエネルギーであったが、オルビフォールド背景では正のエネルギーをとる可能性がある。
• $w = -a/N$ を伴う状態の $\tilde{j}$ 量子数の境界は $\frac{(k-2)a/N + 1}{2} < \tilde{j} < \frac{k-1}{2}$ であり、$AdS_3$ の場合とは異なる。
• 分数モードの生成子が存在しても、エネルギー式におけるキャンセルにより、基底状態エネルギーは変化しない。
• ボソン化により $J^3$ モーメントを用いて、ねじれ状態の明示的頂点演算子が構成可能であり、これにより $AdS_3/Z_N$ 上での散乱振幅の計算が可能になった。