[論文レビュー] Strong-Feller property for Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正則性構造の理論を用いて、空間-時間ホワイトノイズで駆動される2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に関連するマルコフ半群の強いフェラー性を確立する。強いフェラー性を証明することで、η ∈ (−1/2, 0) における Hölder 空間 $Δ^{η}$ 内の任意の初期条件に対して、解のグローバル存在が保証され、ほとんど確実な初期データを超えてwell-posednessを拡張する。

ABSTRACT

In this paper we prove strong Feller property for the Markov semigroups associated to the two or three dimensional Navier-Stokes (N-S) equations driven by space-time white noise using the theory of regularity structures introduced by Martin Hairer in [Hai14]. This implies global well-posedness of 2D N-S equation driven by space-time white noise starting from every initial point in $C^η$ for $η\in (-\frac{1}{2},0)$.

研究の動機と目的

• 空間-時間ホワイトノイズで駆動される2次元および3次元の確率的ナビエ＝ストークス方程式に伴うマルコフ半群の強いフェラー性を確立すること。
• ほとんど確実な初期データを超えて、η ∈ (−1/2, 0) における $Δ^{\eta}$ 内のすべての初期条件に対してグローバルなwell-posednessを拡張すること。
• ナビエ＝ストークス方程式に含まれるLeray射影の存在により、従来の抽象的結果の直接適用が困難であるという点を克服すること。
• 正則性構造理論およびパラコントロールド分布を用いて、解半群の構築と解析を行うこと。

提案手法

• 著者たちは、[17, 節2] に提示された強いフェラー性の抽象的枠組みを、確率的ナビエ＝ストークス設定に適応して適用する。
• 彼らは、マーティン・ヘイラーによる正則性構造理論を用いて、空間-時間ホワイトノイズを伴う不適切な3次元ナビエ＝ストークス方程式に厳密な意味を与える。
• この構築は、特異なノイズと非線形項を取り扱うために、パラコントロールド分布と再正規化技術に依存する。
• この手法では、初期条件およびノイズ経路に関して、解写像の連続性とFréchet微分可能性を同時に証明する。
• フレームワークには、下半連続関数 $r_t$ を用いた、爆発時間の可測かつ局所リプシッツ連続な制御が含まれる。
• マルコフ半群の存在が確立され、その強いフェラー性は、微分構造とノイズ作用との整合性から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間-時間ホワイトノイズで駆動される2次元および3次元ナビエ＝ストークス方程式に関連するマルコフ半群は、強いフェラー性を満たすか？
• RQ2 η ∈ (−1/2, 0) における $Δ^{\eta}$ 内のすべての初期条件に対して、解のグローバル存在が保証されるのか、それともほとんど確実に限られるのか？
• RQ3 Leray射影の存在により、従来の抽象的結果の直接適用が困難であるにもかかわらず、強いフェラー性は確立可能か？
• RQ4 正則性構造理論は、この特異なSPDEの解半群の構築と解析をどのように支援するのか？

主な発見

• 空間-時間ホワイトノイズで駆動される2次元および3次元ナビエ＝ストークス方程式に関連するマルコフ半群に対して、強いフェラー性が成立する。
• η ∈ (−1/2, 0) における任意の初期条件 $u_0 \in \mathcal{C}^\eta$ に対して、時間全域における解のグローバル存在が確立される。これはほとんど確実な初期データに限らない。
• 2次元方程式の不変測度は、$Δ^\eta$ 上で全空間にわたる正規分布であり、強いフェラー性により、この空間のすべての初期点に対して爆発時間はほとんど確実に無限大であることが保証される。
• 解写像は初期条件に関して連続的かつFréchet微分可能であり、これにより漸近的カップリングやエルゴード性の議論が可能になる。
• 非線形性と射影構造の存在にもかかわらず、[17] の抽象的強いフェラー枠組みをナビエ＝ストークス設定にうまく適応できた。
• これらの結果は、複雑な非線形性と乗法的ノイズを伴う特異なSPDEを扱う際の正則性構造法の強靭性を示している。