[論文レビュー] Strong geodetic problem in networks: computational complexity and solution for Apollonian networks

Paul Manuel, Sandi Klavžar+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2017

Evacuation and Crowd Dynamics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ネットワークにおける強い地図的問題を導入し、すべての頂点がその集合内のある頂点対間の固定された最短経路上にあるような頂点の最小集合を求める問題として定義する。この問題がNP完全であることを証明し、完全アポロニウスネットワークに対して正確な解を得た。その結果、r段階のアポロニウスネットワークA(r)の強い地図的数は3^kであることが示された。

ABSTRACT

The geodetic problem was introduced by Harary et al. In order to model some social network problems, a similar problem is introduced in this paper and named the strong geodetic problem. The problem is solved for complete Apollonian networks. It is also proved that in general the strong geodetic problem is NP-complete.

研究の動機と目的

• 社会的ネットワークモデリングにおける古典的な地図的問題のより強いバージョンを形式化し、研究すること。ここでの目的は、各頂点が2人のコーディネーター間の固定された最短経路上にあるようにすることである。
• 一般のグラフにおける強い地図的問題の計算量的複雑性を特定すること。
• 特定のグラフクラス、すなわち完全アポロニウスネットワークに対して、強い地図的問題を正確に解くこと。
• 支配集合問題との間に多項式時間還元を用いて、強い地図的問題と結びつけること。

提案手法

• 強い地図的集合を、グラフ内のすべての頂点がその集合内のある頂点対間の固定された最短経路上にあるような頂点の部分集合Sとして定義する。
• そのような集合の最小サイズを強さ地図的数sg(G)として定義する。
• アポロニウスネットワークの構造的性質、特に単体的頂点と内部双対グラフを用いて、強い地図的数を導出する。
• 与えられたグラフGから変更されたグラフG̅を構築することで、支配集合問題から強い地図的問題への多項式時間還元を構築する。
• Gに支配集合Sが存在するための必要十分条件が、S ∪ V'' がG̅において強い地図的集合であることに等しいことを証明する。
• アポロニウスネットワークにおける単体的頂点は、いかなる強い地図的集合にも含まれなければならないという事実を活用し、構成と証明を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフにおける強い地図的問題の計算量的複雑性は何か？
• RQ2 特定のグラフクラス、例えばアポロニウスネットワークにおいて、強い地図的問題は効率的に解けるか？
• RQ3 強い地図的問題と支配集合問題や等長経路問題などの他のグラフ問題との間に、関係があるか？
• RQ4 既知のNP完全問題からの還元によって、強い地図的問題の複雑性を確立できるか？

主な発見

• 支配集合問題からの多項式時間還元によって、強い地図的問題がNP完全であることが証明された。
• 完全アポロニウスネットワークA(r)に対して、強い地図的数は正確に3^kである。ここでkはネットワークの段階を表す。
• 完全アポロニウスネットワークA(r)の最小強い地図的集合は、すべてのr段階の頂点から構成され、この集合はすべての頂点を固定された最短経路でカバーするために必要かつ十分である。
• アポロニウスネットワークにおける単体的頂点は、いかなる強い地図的集合にも含まれなければならないため、最小解の特徴付けが簡略化される。
• 支配集合問題から強い地図的問題への還元は、解のサイズを保持する。これは、Gにおける最小支配集合が、構築されたグラフG̅における最小強い地図的集合に正確に対応することを示している。
• NP完全性の結果にもかかわらず、弦的グラフ、二部グラフ、グリッド、およびカイリー・グラフなどの複数のグラフクラスについては、問題は未解決のままである。