[論文レビュー] Strongly homotopy algebras of a Kähler manifold

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Sep 29, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなケーラー多様体が自然に二つの異なる強ホモトピー代数（$A_∞$-代数）を備えていることを確立している。一つはde Rham複体のホッジ理論から、もう一つはDolbeault複体から生じる。主な貢献は、外積、グリーン関数、ケーラー形式を用いて高次ホモトピーを明示的に構成し、非可換性を持つ単純な積に対しても調和形式の積が調和のままであることを示したことである。

ABSTRACT

It is shown that any compact Kähler manifold $M$ gives canonically rise to two strongly homotopy algebras, the first one being associated with the Hodge theory of the de Rham complex and the second one with the Hodge theory of the Dolbeault complex. In these algebras the product of two harmonic differential forms is again harmonic. If $M$ happens to be a Calabi-Yau manifold, there exists a third strongly homotopy algebra closely related to the Barannikov-Kontsevich extended moduli space of complex structures.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体における $d^*$-閉形式上の外積の非可換性を、高次ホモトピー構造を用いて体系的に説明すること。
• 微分作用素と射影を用いて、空間 $\mathrm{Ker}\,d_c^*$ および $\mathrm{Ker}\,\partial^*$ 上に明示的な $A_\infty$-代数構造を構成すること。
• この構成をカラビ＝ヤウ多様体に拡張し、得られる $A_\infty$-代数が複素構造の拡張モジュライ空間（Barannikov-Kontsevich）と関連することを示すこと。
• 高次ホモトピー構造下でも調和形式の積が調和のままであることを示し、単純な積の非可換性を解消すること。

提案手法

• ホッジ分解と射影作用素を用いて、$d^*$-閉形式上に非可換だが高次可換性条件を満たす新しい積 $\circ$ を定義する。
• 微分超代数 $V$、部分複体 $W$、および $1 - [d,Q]$ が $W$ に射影する奇数作用素 $Q$ を満たす一般論の $A_\infty$-代数の構成を適用する。
• 外積、作用素 $d_c$、$G_d$、$\Lambda$ を用いて、高次ホモトピー $\mu_k$ を明示的に計算し、$\mu_2(v_1,v_2) = (1 - d_c G_d d_c^*)(v_1 \wedge v_2)$ が成り立つ。
• Dolbeaultの場合には、$Q = i\partial G_\partial \Lambda$ を用いて $\mathrm{Ker}\,\partial^*$ 上の $A_\infty$-構造を定義する。
• カラビ＝ヤウ多様体の場合、ホロモーフィック体積形式 $\Omega$ を用いて、代数 $V = \Lambda^\bullet TM \otimes \Lambda^\bullet \overline{\Omega^1 M}$ 上に $A_\infty$-構造を上昇させる。
• $\Omega$ を用いた共役により $\hat{\partial}^*$、$\hat{G}_\partial$ などの関連作用素を定義し、$\mathrm{Ker}\,\hat{\partial}$ 上に $A_\infty$-代数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体上の $d^*$-閉形式における外積の非可換性を、高次ホモトピー構造を用いて体系的に修正する方法は何か？
• RQ2 ケーラー多様体のホッジ的構造が、自然な $A_\infty$-代数構造として符号化可能か？
• RQ3 高次ホモトピー $\mu_k$ の明示的形は、ケーラー形式やグリーン関数といった幾何的データを用いてどのように表されるか？
• RQ4 カラビ＝ヤウ多様体における $\mathrm{Ker}\,\hat{\partial}$ 上の $A_\infty$-代数は、複素構造の拡張モジュライ空間と関係しているか？
• RQ5 単純な積が $d^*$-閉でないにもかかわらず、$A_\infty$-積下でも調和形式の積が調和のままであるのはなぜか？

主な発見

• コンパクトケーラー多様体上の $d_c^*$-閉形式の空間 $\mathrm{Ker}\,d_c^*$ は、明示的に計算可能な高次ホモトピーを備えた自然な $A_\infty$-代数構造を持つ。
• $\mu_2(v_1,v_2) = (1 - d_c G_d d_c^*)(v_1 \wedge v_2)$ は非可換だが、$A_\infty$-関係式により高次可換性条件を満たす。
• $\mathrm{Ker}\,d_c^*$ 上の $A_\infty$-構造により、二つの調和形式の積が再び調和となることが保証され、単純な外積の非閉性の問題が解消される。
• Dolbeault複体を用いることで、同様の $A_\infty$-代数が $\mathrm{Ker}\,\partial^*$ 上に生じ、$Q = i\partial G_\partial \Lambda$ を用いて定義される。
• カラビ＝ヤウ多様体の場合、$\mathrm{Ker}\,\hat{\partial}$ 上の $A_\infty$-代数はBarannikov-Kontsevich代数と同型であり、Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski 構造と整合する。
• この構成により、多様体 $M$ のde Rhamコホモロジー上に現れるFrobenius多様体構造の幾何的説明が得られ、複体 $\mathrm{Ker}\,d_c^*$ がこの構造の基盤をなす。