[論文レビュー] Structure of entanglement in regulated Lorentz invariant field theories

Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、規格化されたローレンツ不変な量子場の理論における縮約密度行列の近似について、$ e^S $ 個の最大固有値に切り詰めることで行うものであり、ここで $ S $ はエンタングルメントエントロピーである。十分に大きな部分領域に対して、このような切り詰めがトレースノルムにおいて有界な誤差をもたらすことを示している—ギャップなしの系でさえも—、コンformal field theory における球体のリーマンエントロピーと熱的エントロピー密度を結びつけることで、1次元のDMRGに類似したスティーブン係数の崩壊を高次元に一般化する。

ABSTRACT

Regulated Lorentz invariant quantum field theories satisfy an area law for the entanglement entropy $S$ of a spatial subregion in the ground state in $d>1$ spatial dimensions; nevertheless, the full density matrix contains many more than $e^{S}$ non-zero eigenvalues. We ask how well the state of a subregion $R$ in the ground state of such a theory can be approximated when keeping only the $e^{S}$ largest eigenvalues of the reduced density matrix of $R$. We argue that by taking the region $R$ big enough, we can always ensure that keeping roughly $e^{S}$ states leads to bounded error in trace norm even for subregions in gapless ground states. We support these general arguments with an explicit computation of the error in a half-space geometry for a free scalar field in any dimension. Along the way we show that the Renyi entropy of a ball in the ground state of any conformal field theory at small Renyi parameter is controlled by the conventional extit{thermal entropy density} at low temperatures. We also reobtain and generalize some old results relevant to DMRG on the decay of Schmidt coefficients of intervals in one dimensional ground states. Finally, we discuss the role of the regulator, the insensitivity of our arguments to the precise ultraviolet physics, and the role of adiabatic continuity in our results.

研究の動機と目的

• 規格化されたローレンツ不変な場の理論の基底状態における縮約密度行列が、$ e^S $ 個の最大固有値に切り詰められることで、トレースノルムにおいて有界な誤差で全状態を近似できるかどうかを特定すること。
• 特に高次元において、面積則を越えたギャップあり・ギャップなしの系におけるエンタングルメントの構造を理解すること。
• 1次元のDMRGにおけるスティーブン係数の崩壊の知見を、高次元の量子場の理論に一般化すること。
• レギュレータの役割と、エンタングルメント近似において紫外の詳細に敏感でない理由を明確にすること。

提案手法

• 規格化されたローレンツ不変な量子場の理論の基底状態における空間的部分領域 $ R $ のエンタングルメントスペクトルを分析する。
• スティーブン分解を用いて、縮約密度行列 $ \rho_R $ を固有値 $ \lambda_i $ の形で表現し、エンタングルメントエントロピーを $ S = -\sum_i \lambda_i \ln \lambda_i $ と定義する。
• $ d $ 次元の球体のリーマンエントロピーと、CFT を双曲空間上に写像することで、CFT の熱的エントロピー密度との関係を確立する。
• 任意の次元における自由スカラー場の半空間幾何における近似誤差を明示的に計算し、$ R $ が大きくなると誤差が有界であることを確認する。
• CFTにおけるモジュラー不変性と境界効果を用いて、補正項の高次の項とトポロジカル理論における端状態の役割を分析する。
• 境界寄与項が $ 1/\alpha $ のようにスケーリングすることを示し、$ \alpha \to 0 $ の極限で無視可能になるため、バルクの熱的エントロピー関係が正当化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 規格化されたローレンツ不変な量子場の理論における縮約密度行列は、ギャップなしの系であっても、$ e^S $ 個の最大固有値に切り詰めることで、トレースノルムにおいて有界な誤差でよく近似可能か？
• RQ2 コンformal field theory における球体のリーマンエントロピーは、低温における熱的エントロピー密度とどのように関係しているか？
• RQ3 1次元系におけるスティーブン係数の崩壊特性が、高次元場の理論にどの程度一般化可能か？
• RQ4 レギュレータ依存の紫外効果は、$ e^S $ 次元の縮約密度行列の近似精度にどのように影響するか？
• RQ5 トポロジカルな端状態とモジュラー不変性は、小さなリーマンパラメータ $ \alpha $ におけるエンタングルメントスペクトルの構造に、どのように寄与するか？

主な発見

• 十分に大きな部分領域 $ R $ に対して、縮約密度行列 $ \rho_R $ をその $ e^S $ 個の最大固有値に切り詰めると、ギャップなしの基底状態であってもトレースノルムにおいて有界な誤差が得られる。
• コンformal field theory における $ d $ 次元の球体のリーマンエントロピーは、小さなリーマンパラメータ $ \alpha $ において、CFT の低温における通常の熱的エントロピー密度によって制御される。
• 任意の次元における自由スカラー場の半空間幾何における近似誤差は明示的に計算され、領域サイズが増大するに従って誤差が有界のまま保たれることを示した。
• 解析により、高次元におけるスティーブン係数の崩壊が、DMRGに類似した振る舞いに一般化され、固有値がスティーブンランクに対して指数関数的に減少することが確認された。
• エンタングルメントスペクトルにおける境界寄与項は $ 1/\alpha $ のようにスケーリングし、$ \alpha \to 0 $ の極限で抑制されるため、バルクの熱的エントロピー関係が正当化される。
• トポロジカル場の理論は熱的エントロピーがゼロであるが、端状態のおかげで $ \alpha $ に依存しない普遍的なリーマンエントロピーを示し、それが双曲空間上でのエンタングルメントスペクトルに捉えられる。